Math Resolution For SSC Exam

বিদ্যানিকেতন গণিত অনুশীলন (for SSC Exam)

১ম অধ্যায়: বাস্তব সংখ্যা

প্রশ্ন - ১:

$2p, (2p+1), (2p+2), (2p+3)$ চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা।

ক. স্বাভাবিক সংখ্যা ও পূর্ণসংখ্যা কাকে বলে? -উদাহরণসহ লিখ।

খ. দেখাও যে, এই চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে $1$ যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে। [Hint: TB-5 Ex-2]

গ. দেখাও যে, প্রথম দু’টি জোড় সংখ্যার গুণফল $8$ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

১ নং প্রশ্নের সমাধান

ক

স্বাভাবিক সংখ্যা: $1,\ 2,\ 3,\ 4\ ...$ ইত্যাদি সকল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে। স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে $\mathbb{N}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ $\mathbb{N}=\{1,\ 2,\ 3,\ 4\ ...\}$

পূর্ণসংখ্যা: শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে পূর্ণসংখ্যা বলে। যেমন- $... -3, -2, -1, 0,\ 1,\ 2,\ 3\ ...$ ইত্যাদি পূর্ণসংখ্যা। পূর্ণসংখ্যার সেটকে $\mathbb{Z}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ $\mathbb{Z}=\{... -3, -2, -1, 0,\ 1,\ 2,\ 3\ ...\}$

খ

প্রদত্ত চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে $1$ যোগ করে পাই,

$\ \ \ \ 2p\times(2p+1)\times(2p+2)\times(2p+3)+1$
$=2p(2p+1)(2p+2)(2p+3)+1$
$=2p(2p+3)(2p+1)(2p+2)+1$
$=(4p^2+6p)(4p^2+4p+2p+2)+1$
$=(4p^2+6p)(4p^2+6p+2)+1$

ধরি, $4p^2+6p=a$

$=a(a+2)+1$
$=a^2+2.a.1+1^2$
$=(a+1)^2$
$=(4p^2+6p+1)^2$; যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

সুতরাং, চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে $1$ যোগ করলে তা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

গ

যেকোনো সংখ্যাকে যেকোনো জোড় সংখ্যা দিয়ে গুণ করা হলে গুণফলটি জোড় সংখ্যা হয়। তাই প্রদত্ত চারটি সংখ্যা $2p,(2p+1),(2p+2),(2p+3)$ এর মধ্যে $2p$ সংখ্যাটিতে জোড় সংখ্যা $2$ গুণ থাকায় $2p$ সংখ্যাটি জোড় সংখ্যা হবে। আবার, জোড় সংখ্যার সাথে জোড় সংখ্যা যোগ বা বিয়োগ করা হলে তা একটি জোড় সংখ্যা হয়। তাই $(2p+2)$ সংখ্যাটিও জোড় সংখ্যা হবে। অর্থাৎ প্রদত্ত চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে ১ম দুটি জোড় সংখ্যা হলো $2p$ ও $(2p+2)$।
সংখ্যা দুটির গুণফল হবে $-$

$\ \ \ \ 2p(2p+2)$
$=2p.2(p+1)$
$=4p(p+1)$

এখানে, $p$ ও $(p+1)$ দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা। অর্থাৎ সংখ্যা দুটির মধ্যে যেকোনো একটি অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে। যেহেতু কোনো সংখ্যাকে জোড় সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে তা জোড় সংখ্যা হয়, তাই $p(p+1)$ এর গুণফলও জোড় সংখ্যা হবে এবং তা $2$ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
সুতরাং $4p(p+1)$ সংখ্যাটি $4\times2=8$ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

প্রশ্ন - ২:

$a=\sqrt6, b=\sqrt4, r=4.8\dot{9}, s=\sqrt7, t=\sqrt9$ পাঁচটি বাস্তব সংখ্যা।

ক. উদ্দীপকের সংখ্যাগুলোর মধ্যে কোনটি মূলদ কোনটি অমূলদ নির্ণয় কর।

খ. $\dfrac{s+a}{s-a}$ এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর। $[25.9615]$

গ. প্রমাণ কর যে, $\dfrac{t}{b}$ একটি মূলদ সংখ্যা কিন্তু $a$ অমূলদ সংখ্যা।

২ নং প্রশ্নের সমাধান

ক

যে সকল বাস্তব সংখ্যাকে $\dfrac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায় তাদেরকে মূলদ সংখ্যা বলে। সাধারণত সকল স্বাভাবিক সংখ্যা, সকল পূর্ণ সংখ্যা, সকল সাধারণ ভগ্নাংশ সংখ্যা এবং সকল সসীম দশমিক সংখ্যা বা পৌনঃপুনিকযুক্ত সংখ্যাকে $\dfrac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়; তাই এগুলো মূলদ সংখ্যা হয়।
এখানে,

$a=\sqrt6=2.4494897...$ যা একটি অসীম দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যা এবং $\dfrac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায় না;
$b=\sqrt4=2\ ($ মূলত $\dfrac{2}{1})$ যা একটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং $\dfrac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়;
$r=4.8\dot{9}=\dfrac{489-48}{90}=\dfrac{441}{90}$ যা একটি সাধারণ ভগ্নাংশ সংখ্যা এবং $\dfrac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়;
$s=\sqrt7=2.645751...$ যা একটি অসীম দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যা এবং $\dfrac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায় না;
$t=\sqrt9=3\ ($ মূলত $\dfrac{2}{1})$ যা একটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং $\dfrac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়;

সুতরাং $b,\ r,\ t$ মূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ $\mathbb{Q}=\{b,\ r,\ t\}$ এবং ‍$a,\ s$ অমূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ $\acute{\mathbb{Q}}=\{a,\ s\}$।

খ

দেওয়া আছে,

$a=\sqrt6$ এবং $s=\sqrt7$

প্রদত্তরাশি$=\dfrac{s+a}{s-a}$

$=\dfrac{\sqrt7+\sqrt6}{\sqrt7-\sqrt6}$
$=\dfrac{(\sqrt7+\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6)}{(\sqrt7-\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6)}$   [লব ও হরকে $(\sqrt7+\sqrt6)$ দ্বারা গুণ করে]
$=\dfrac{(\sqrt7+\sqrt6)^2}{(\sqrt7)^2-(\sqrt6)^2}$
$=\dfrac{(\sqrt7)^2+2\sqrt7.\sqrt6+(\sqrt6)^2}{7-6}$
$=7+2\sqrt42+6$
$=13+2\sqrt42$
$=25.961481...$
$=25.9615$ (প্রায়)   [চার দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নিয়ে]

গ

দেওয়া আছে,

$a=\sqrt6$; $b=\sqrt4$ এবং $t=\sqrt9$

$\therefore \dfrac{t}{b}=\dfrac{\sqrt9}{\sqrt4}$

$=\dfrac{3}{2}$ যা একটি সাধারণ ভগ্নাংশ সংখ্যা এবং $\dfrac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়;

অর্থাৎ $\dfrac{t}{b}$ একটি মূলদ সংখ্যা।
এখন, $4\lt6\lt9$

$\Rightarrow \sqrt4\lt\sqrt6\lt\sqrt9$
$\Rightarrow 2\lt\sqrt6\lt3$

$\therefore\ a=\sqrt6$ এর মান $4$ এর চেয়ে বড় এবং $9$ এর চেয়ে ছোট।
$\therefore\ \sqrt6$ পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। তবে মূলদ অথবা অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।
যদি $\sqrt6$ একটি মূলদ সংখ্যা হয়, তবে $-$
মনেকরি,$\sqrt6=\dfrac{p}{q}$;   যেখানে, $p$ ও $q$ স্বাভাবিক সহমৌলিক সংখ্যা এবং $q\gt1$

$\Rightarrow (\sqrt6)^2=(\dfrac{p}{q})^2$   [উভয় পক্ষে বর্গ করে]
$\Rightarrow 6=\dfrac{p^2}{q^2}$
$\Rightarrow 6q=\dfrac{p^2}{q}$   [উভয় পক্ষে $q$ দ্বারা গুণ করে]

উপরের সমীকরণটির বামপক্ষে $6q$ একটি পূর্ণসংখ্যা কিন্তু ডানপক্ষে $\dfrac{p^2}{q}$ পূর্ণ সংখ্যা নয়। তাই $6q$ এবং $\dfrac{p^2}{q}$ সমান হতে পারে না। অর্থাৎ $6q\ne\dfrac{p^2}{q}$
$\therefore\ \sqrt6$ এর মান $\dfrac{p}{q}$ আকারের কোনো সংখ্যা হতে পরে না। অর্থাৎ $\sqrt6$ মূলদ সংখ্যা নয়।
অতএব $\sqrt6$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন - ৩:

$\sqrt{29}$ ও $5$ দুইটি বাস্তব সংখ্যা এবং $m$ একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা।

ক. $\sqrt{645}$ এর মান দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর। $[25.40]$

খ. 5 ও $\sqrt{29}$ এর মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা $x$ ও দুটি অমূলদ সংখ্যা $y, z$ লিখ। $[5.385 >$ উত্তর $>5]$

গ. দেখাও যে, $m^2$ একটি স্বাভাবিক ও বিজোড় সংখ্যা এবং $m^2$ কে $4$ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে $1$ অবশিষ্ট থাকে।

৩ নং প্রশ্নের সমাধান

ক

$\sqrt{645}$ এর মান নির্ণয় (ভাগ পদ্ধতি):

	$2$	$5$	$.$	$3$	$9$	$6$	$\ ...$
	$6$	$\ 45$	$.$	$\ 00$	$\ 00$	$\ 00$	$...$
$-4$
$45)$	$2$	$45$
$-2$		$25$
$503)$		$20$		$00$
	$-15$			$09$
$5069)$		$4$		$91$	$00$
	$-4$			$56$	$21$
$5078)$				$34$	$79$	$00$
		$-30$			$47$	$16$
$50792\_)$				$4$	$31$	$84$	$00$

$\therefore \sqrt{645}=25.396 ... \approx 25.40$
অতএব $\sqrt{645}$ এর মান $25.40$ (প্রায়)।

খ

এখানে, $\sqrt{29}=5.385...$ অর্থাৎ $5$ এর চেয়ে বড় কিন্তু $5.385...$ এর চেয়ে ছোট একটি মূলদ সংখ্যা $x$ ও দুটি অমূলদ সংখ্যা $y, z$ লিখতে হবে।

$x = 5.2=\dfrac{52}{10}=\dfrac{26}{5}$

যেখানে $5 \lt x \lt \sqrt{29}$ এবং যা $\dfrac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়। অর্থাৎ মূলদ সংখ্যা।
আবার,

$y = \dfrac{5+\sqrt{29}}{2}=5.19258...$ এবং মূলদ সংখ্যা।
$z = \dfrac{5+\sqrt{29}+\sqrt{29}}{3}=5.25677...$ এবং মূলদ সংখ্যা।

সুতরাং, $5$ এর চেয়ে বড় কিন্তু $\sqrt{29}$ এর চেয়ে ছোট একটি মূলদ সংখ্যা $x\ = \ 5.2$ ও দুটি অমূলদ সংখ্যা $y=5.19258..., z=5.25677...$।
বিকল্প,
এখানে,

$\ \ \ \sqrt{25} \lt \sqrt{x},\ \sqrt{y},\ \sqrt{z} \lt \sqrt{29}$
$=(\sqrt{25})^2 \lt (\sqrt{x})^2,\ (\sqrt{y})^2,\ (\sqrt{z})^2 \lt (\sqrt{29})^2$
$=5 \lt x,\ y,\ z \lt 5.385...$

অর্থাৎ $5$ এর চেয়ে বড় কিন্তু $5.385...$ এর চেয়ে ছোট একটি মূলদ সংখ্যা $x$ ও দুটি অমূলদ সংখ্যা $y, z$ লিখতে হবে।

$x = 5.2=\dfrac{52}{10}=\dfrac{26}{5}$

যেখানে $5\lt x \lt \sqrt{29}$ এবং যা $\dfrac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়। অর্থাৎ মূলদ সংখ্যা।
আবার,

$y = \sqrt{27}=5.19615...$ যেখানে $\sqrt{25}$ বা $5 \lt \sqrt{y} \lt \sqrt{29}$ এবং মূলদ সংখ্যা।
$z = \sqrt{28}=5.2915...$ যেখানে $\sqrt{25}$ বা $5 \lt \sqrt{z} \lt \sqrt{29}$ এবং মূলদ সংখ্যা।

সুতরাং, $5$ এর চেয়ে বড় কিন্তু $\sqrt{29}$ এর চেয়ে ছোট একটি মূলদ সংখ্যা $x\ = \ 5.2$ ও দুটি অমূলদ সংখ্যা $y=\sqrt{27}, z=\sqrt{28}$।

গ

মনেকরি,

$m = (2n+1)$;   যেখানে, $n\in\mathbb{N}$   [$\because m$ বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা ]
$m^2 = (2n+1)^2$
$\ \ \ =(2n)^2+2.2n.1+(1)^1$
$\ \ \ =(4n^2+4n+1$
$\ \ \ =4n(n+1)+1$

এখানে, $n(n+1)$ দুটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল। তাই সংখ্যা দুটির মধ্যে একটি অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে। অর্থাৎ $4n(n+1)$ সংখ্যাটিও জোড় সংখ্যা এবং তার সাথে $1$ যোগ করা হলে $4n(n+1)+1$ তা বিজোড় সংখ্যা হবে।
$\therefore m$ একটি বিজোড় সংখ্যা হলে তার বর্গ $m^2$ অবশ্যই একটি বিজোড় সংখ্যা হবে।
আবার, $4n(n+1)+1$ বিজোড় সংখ্যাটির $4n(n+1)$ অংশ জোড় সংখ্যা এবং $4\times2=8$ দ্বারা বিভাজ্য হলে তা $4$ দ্বারাও বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ $4n(n+1)+1$ সংখ্যাটিকে $4$ দ্বারা ভাগ করা হলে $n\in\mathbb{N}$ এর জন্যে প্রতিক্ষেত্রে $1$ অবশিষ্ট থাকে।
$\therefore m$ একটি বিজোড় সংখ্যা হলে তার বর্গ $m^2$ অবশ্যই একটি বিজোড় সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন - ৪:

$x=4.\dot{8}\dot{9},\ \ y=\ 3.1\dot{7}\dot{8},\ z=6.89\dot{7}9\dot{8},\ p=9.45,\ q=2.8\dot{6}\dot{3}$ কয়েকটি বাস্তব সংখ্যা।

ক. $y$ ও $z$ কে স্বাভাবিক ভগ্নাংশ সংখ্যায় প্রকাশ কর। $[\dfrac{1049}{330},\dfrac{689109}{99900}]$

খ. $x+y+z$ ও $p-q$ নির্ণয় কর। $[14.97\dot{5}7\dot{6},\ 6.58\dot{6}\dot{3}]$

গ. সরল কর: $\left(0.\dot{3}\times0.8\dot{3}\right)\div\left(0.5\times0.\dot{1}\right)+0.3\dot{5}\div0.0\dot{8}$ $[9]$

৪ নং প্রশ্নের সমাধান

ক

দেওয়া আছে,

$y=3.1\dot{7}\dot{8}=\dfrac{3178-31}{990}=\dfrac{3147}{990}=\dfrac{1049}{330}$
$z=6.89\dot{7}9\dot{8}=\dfrac{689798-689}{9990}=\dfrac{689109}{990}=\dfrac{229703}{3330}$

ইহাই $y$ ও $z$ এর নির্ণেয় সাধারণ ভগ্নাংশ।

খ

দেওয়া আছে,

$x=4.\dot{8}\dot{9},\ \ y=\ 3.1\dot{7}\dot{8},\ z=6.89\dot{7}9\dot{8},\ p=9.45,\ q=2.8\dot{6}\dot{3}$

$x, y$ ও $z$ যোগ করে পাই $-$

$x=4.\dot{8}\dot{9}=4.89\dot{8}9898\dot{9}$	$89...$
$y=3.1\dot{7}\dot{8}=3.17\dot{8}7878\dot{7}$	$87...$
$z=6.89\dot{7}9\dot{8}=6.89\dot{7}9879\dot{8}$	$79...$
$(x+y+z)=14.97\dot{5}7657\dot{6}$	$55...$

$p$ থেকে $q$ বিয়োগ করে পাই $-$

$p=9.45=9.45\dot{0}\dot{0}$	$00...$
$q=2.8\dot{6}\dot{3}=2.86\dot{3}\dot{6}$	$36...$
$(p-q)=6.58\dot{6}\dot{3}$	$64...$

$\therefore$ নির্ণেয় $(x+y+z)=14.97\dot{5}7657\dot{6} = 14.97\dot{5}7\dot{6}$ এবং $(p-q)=6.58\dot{6}\dot{3}$।

গ

প্রদত্ত রাশিমালা $=\left(0.\dot{3}\times0.8\dot{3}\right)\div\left(0.5\times0.\dot{1}\right)+0.3\dot{5}\div0.0\dot{8}$

$=\left(\dfrac{3-0}{9}\times\dfrac{83-8}{90}\right)\div\left(\dfrac{5}{10}\times\dfrac{1-0}{9}\right)+\dfrac{35-3}{90}\div\dfrac{8-0}{90}$
$=\left(\dfrac{3}{9}\times\dfrac{75}{90}\right)\div\left(\dfrac{5}{10}\times\dfrac{1}{9}\right)+\dfrac{32}{90}\div\dfrac{8}{90}$
$=\dfrac{5}{18}\div\dfrac{1}{18}+\dfrac{32}{90}\div\dfrac{8}{90}$
$=\dfrac{5}{18}\times\dfrac{18}{1}+\dfrac{32}{90}\times\dfrac{90}{8}$
$=5+4$
$=9$

$\therefore$ নির্ণেয় সরলমান $9$.

২য় অধ্যায়: সেট ও ফাংশন

প্রশ্ন - ১:

$A, B, C$ তিনটি সেট যেখানে, $A=\{x:x\in\mathbb{N}$ এবং $x^2-5x+6=0\};\ $$B=\{x:x\in 3$ এর গুণিতক এবং $0\lt x\le3\}$ এবং $C=\{x:x$ মৌলিক সংখ্যা ও $2\lt x \le 5 \}$

ক. যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা $346$ ও $556$ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে $31$ অবশিষ্ট থাকে, তাদের সেট নির্ণয় কর। $[\{ 35, 105 \}]$

খ. প্রমাণ করো যে, $P\left(A\cap C\right)=P\left(A\right)\cap P\left(C\right)$

গ. প্রমাণ করো যে, $\left(A\times B\right)\cup\left(A\times C\right)=A\times\left(B\cup C\right)$

১ নং প্রশ্নের সমাধান

ক

যে সকল সংখ্যা দিয়ে $346$ ও $556$ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে $31$ অবশিষ্ট থাকে, সে সংখ্যাগুলো হবে $31$ এর চেয়ে বড় এবং $(346-31)=315$ ও $(556-31)=525$ এর সাধারণ গুণনীয়ক।
মনেকরি, $31$ এর চেয়ে বড় $315$ এর গুণনীয়কের সেট $A$ এবং $31$ এর চেয়ে বড় $525$ এর গুণনীয়কের সেট $B$

$315=1\times315$

$=3\times105$
$=5\times63$
$=7\times45$
$=9\times35$
$=15\times21$

$525=1\times525$

$=3\times175$
$=5\times105$
$=7\times75$
$=15\times35$
$=21\times25$

$\ \ \ A=\{35, 45, 63, 105, 315\}$
এবং $B=\{35, 75, 105, 175, 525\}$
$\therefore$ নির্ণেয় সেট $(A\cap B)=\{35, 105\}$.

খ

দেওয়া আছে,

$\ \ \ \ A=\{x:x\in\mathbb{N}$ এবং $x^2-5x+6=0\};\ $

এখন, $x^2-5x+6=0$

$\Rightarrow x^2-3x-2x+6=0$
$\Rightarrow x(x-3)-2(x-3)=0$
$\Rightarrow (x-3)(x-2)=0$
$\Rightarrow (x-3)=0$ অথবা, $(x-2)=0$
$\Rightarrow x=3$ অথবা, $x=2$
$\Rightarrow x=2,3$

অর্থাৎ $A=\{2, 3\}$
$\therefore P(A)=\{\emptyset,\{2\},\{3\},\{2,3\}\}$
এবং $C=\{x:x$ মৌলিক সংখ্যা ও $2\lt x \le 5 \}$

$\ \ =\{3, 5\}$

$\therefore P(C)=\{\emptyset,\{3\},\{5\},\{3,5\}\}$
$\therefore P(A)\cap P(C)=\{\emptyset,\{3\},\{5\},\{3,5\}\}\cap \{\emptyset,\{3\},\{5\},\{3,5\}\}$

$=\{\emptyset,\{3\}\}$

আবার,
$\ \ \ A\cap C=\{2, 3\}\cap \{3, 5\}$

$=\{3\}$

$\therefore P(A\cap C)=\{\emptyset,\{3\}\}$
সুতরাং, $P\left(A\cap C\right)=P\left(A\right)\cap P\left(C\right)$ [প্রমাণিত]

গ

‘খ’ হতে পাই $-$

$\ \ \ \ A=\{2, 3\}$ এবং $C =\{3, 5\}$

দেওয়া আছে,

$B=\{x:x\in 3$ এর গুণিতক এবং $0\lt x\le3\}$
$\ \ =\{1, 3\}$

$\therefore (A\times B)=\{2, 3\}\times\{1, 3\}$

$=\{2, 3\}\times\{1, 3\}$
$=\{(2,1),(2,3),(3,1),(3,3)\}$

$\therefore (A\times C)=\{2, 3\}\times\{3, 5\}$

$=\{2, 3\}\times\{3, 5\}$
$=\{(2,3),(2,5),(3,3),(3,5)\}$

$\therefore (A\times B)\cup (A\times C)=\{(2,1),(2,3),(3,1),(3,3)\}\cup \{(2,3),(2,5),(3,3),(3,5)\}$

$=\{(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5)\}$

আবার, $B\cup C=\{1, 3\}\cap \{3, 5\}$

$=\{1, 3, 5\}$

$\therefore A\times (B\cup C)=\{2, 3\}\times\{1, 3, 5\}$

$=\{(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5)\}$

সুতরাং, $\left(A\times B\right)\cup\left(A\times C\right)=A\times\left(B\cup C\right)$ [প্রমাণিত]

প্রশ্ন - ২:

$f\left(x\right)$ এবং $g\left(x\right)$ দুটি ফাংশন এমনভাবে বর্ণিত যে, $f\left(x\right)=x^3-6x^2+11x-6$ এবং $g\left(x\right)=x^3+k^2x^2-4x-8$

ক. $k$ এর কোন মানের জন্যে $g\left(-2\right)=8$ হবে? $[\pm 2]$

খ. $f\left(x\right)=0$ হলে, $x$ এর মান নির্ণয় কর। $[1, 2, 3]$

গ. $x$ এর মান $A$ সেটের সদস্য হলে দেখাও যে, $P\left(A\right)$ এর উপাদান সংখ্যা $2^n$ কে সমর্থন করে।

Answers Here

প্রশ্ন - ৩:

$y=g\left(z\right)=\dfrac{4z-7}{2z-4};$ যেখানে $x\neq2$ এবং $f\left(x\right)=\dfrac{3x+1}{3x-1}$

ক. $f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ এবং $g\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ এর মান কত? $[2, 9/5]$

খ. দেখাও যে, $g\left(y\right)=z$।

গ. যদি $\dfrac{f\left(\dfrac{1}{x}\right)+1}{f\left(\dfrac{1}{x}\right)+1}=3x+6$ হয়, তবে $x^2+\frac{1}{x^2}$ এর মান কত? $[6]$

Answers Here

প্রশ্ন - ৪:

$A=\{ \ \};\ B=\{x\in\mathbb{Z}: x^2 \le 4 \};\ C=\left\{x\in\mathbb{Z}:2\le x\le5\right\};\ D=\{x\in\mathbb{N}:x^2\geq4$ এবং $x^3 \lt 125 \}$

ক. $P(A)$ এবং এর প্রকৃত উপাদান সংখ্যা নির্ণয় কর। $[\left\{\ \emptyset\right\};0]$

খ. $C\cap D$ নির্ণয় করে তা সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ কর। $[x\in\mathbb{N}:2\le x\le5]$

গ. $R=\{(x,y):x\in B,\ y\in B$ এবং $x+y=1\}$ অন্বয়টি তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর এবং এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর। $[R=\left(0,1\right),\left(-1,2\right),\left(1,\ 0\right),\left(2,-1\right);$ ডোম $R=\{0,-1,1,2\};$ রেঞ্চ $R=\{1,2,0,2\};$

Answers Here

প্রশ্ন - ৫:

অনুচ্ছেদ-১: $f\left(x\right)=\dfrac{1+x^2+x^4}{x^2}$ একটি ফাংশন। যেখানে, $x \ne 0$
অনুচ্ছেদ-২: $U=\{x\in\mathbb{N}:x\le7\};\ A=\{x\in\mathbb{N}:x^2\gt8$ এবং $x^3\lt220\};$ $\ B=\{x\in\mathbb{N}:x$ মৌলিক সংখ্যা এবং $x\lt6\};\ $ $C=\{x\in\mathbb{N}:x,\ 12$ এর গুণনীয়ক$\}$

ক. দেখাও যে, $A^c\ne A-U$।

খ. দেখাও যে, $f\left(\frac{1}{x^2}\right)=f\left(x^2\right)$।

গ. $S=\{(x,y):x\in C,\ y\in B$ এবং $y=2x-1\}$ হলে, $s$ এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর। $[D_s=\{2,\ 3\};\ R_s=\{3,\ 5\}]$

Answers Here

প্রশ্ন - ৪:

ক. উদ্দীপকটি ব্যবহার করে $A\cup\left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap\left(A\cup C\right)$ সম্পর্কটির সত্যতা যাচাই কর।

খ. $S=\{(x,y):x\in(B\cup C)^c,\ y\in U$ এবং $y=7x+1\}$ হলে, S নির্ণয় করে দেখাও যে, S এর অনন্য উপাদানটির মান ‍$(1,\ 8)$।

গ. $(2x+3y,\ 3x-2y)= S$ এর অনন্য উপাদান হলে, $(x,\ y)$ এর মান নির্ণয় কর। $[(2,\ -1)]$

Answers Here