স্বাভাবিক সংখ্যা: \(1,\ 2,\ 3,\ 4\ ...\) ইত্যাদি সকল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে। স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{N}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ \(\mathbb{N}=\{1,\ 2,\ 3,\ 4\ ...\}\)
পূর্ণসংখ্যা: শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে পূর্ণসংখ্যা বলে। যেমন- \(... -3, -2, -1, 0,\ 1,\ 2,\ 3\ ...\) ইত্যাদি পূর্ণসংখ্যা। পূর্ণসংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Z}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ \(\mathbb{Z}=\{... -3, -2, -1, 0,\ 1,\ 2,\ 3\ ...\}\)
প্রদত্ত চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে \(1\) যোগ করে পাই,
\(\ \ \ \ 2p\times(2p+1)\times(2p+2)\times(2p+3)+1\)
\(=2p(2p+1)(2p+2)(2p+3)+1\)
\(=2p(2p+3)(2p+1)(2p+2)+1\)
\(=(4p^2+6p)(4p^2+4p+2p+2)+1\)
\(=(4p^2+6p)(4p^2+6p+2)+1\)
\(=a(a+2)+1\)
\(=a^2+2.a.1+1^2\)
\(=(a+1)^2\)
\(=(4p^2+6p+1)^2\); যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
সংখ্যা দুটির গুণফল হবে \(-\)
\(\ \ \ \ 2p(2p+2)\)
\(=2p.2(p+1)\)
\(=4p(p+1)\)
সুতরাং \(4p(p+1)\) সংখ্যাটি \(4\times2=8\) দ্বারা বিভাজ্য হবে।
এখানে,
\(a=\sqrt6=2.4494897...\) যা একটি অসীম দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যা এবং \(\dfrac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় না;
\(b=\sqrt4=2\ (\) মূলত \(\dfrac{2}{1})\) যা একটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং \(\dfrac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায়;
\(r=4.8\dot{9}=\dfrac{489-48}{90}=\dfrac{441}{90}\) যা একটি সাধারণ ভগ্নাংশ সংখ্যা এবং \(\dfrac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায়;
\(s=\sqrt7=2.645751...\) যা একটি অসীম দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যা এবং \(\dfrac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় না;
\(t=\sqrt9=3\ (\) মূলত \(\dfrac{2}{1})\) যা একটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং \(\dfrac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায়;
\(a=\sqrt6\) এবং \(s=\sqrt7\)
প্রদত্তরাশি\(=\dfrac{s+a}{s-a}\)
\(=\dfrac{\sqrt7+\sqrt6}{\sqrt7-\sqrt6}\)
\(=\dfrac{(\sqrt7+\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6)}{(\sqrt7-\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6)}\) [লব ও হরকে \((\sqrt7+\sqrt6)\) দ্বারা গুণ করে]
\(=\dfrac{(\sqrt7+\sqrt6)^2}{(\sqrt7)^2-(\sqrt6)^2}\)
\(=\dfrac{(\sqrt7)^2+2\sqrt7.\sqrt6+(\sqrt6)^2}{7-6}\)
\(=7+2\sqrt42+6\)
\(=13+2\sqrt42\)
\(=25.961481...\)
\(=25.9615\) (প্রায়) [চার দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নিয়ে]
\(a=\sqrt6\); \(b=\sqrt4\) এবং \(t=\sqrt9\)
\(\therefore \dfrac{t}{b}=\dfrac{\sqrt9}{\sqrt4}\)
\(=\dfrac{3}{2}\) যা একটি সাধারণ ভগ্নাংশ সংখ্যা এবং \(\dfrac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায়;
এখন, \(4\lt6\lt9\)
\(\Rightarrow \sqrt4\lt\sqrt6\lt\sqrt9\)
\(\Rightarrow 2\lt\sqrt6\lt3\)
\(\therefore\ \sqrt6\) পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। তবে মূলদ অথবা অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।
যদি \(\sqrt6\) একটি মূলদ সংখ্যা হয়, তবে \(-\)
মনেকরি,\(\sqrt6=\dfrac{p}{q}\); যেখানে, \(p\) ও \(q\) স্বাভাবিক সহমৌলিক সংখ্যা এবং \(q\gt1\)
\(\Rightarrow (\sqrt6)^2=(\dfrac{p}{q})^2\) [উভয় পক্ষে বর্গ করে]
\(\Rightarrow 6=\dfrac{p^2}{q^2}\)
\(\Rightarrow 6q=\dfrac{p^2}{q}\) [উভয় পক্ষে \(q\) দ্বারা গুণ করে]
\(\therefore\ \sqrt6\) এর মান \(\dfrac{p}{q}\) আকারের কোনো সংখ্যা হতে পরে না। অর্থাৎ \(\sqrt6\) মূলদ সংখ্যা নয়।
অতএব \(\sqrt6\) একটি অমূলদ সংখ্যা।
| \(2\) | \(5\) | \(.\) | \(3\) | \(9\) | \(6\) | \(\ ...\) | |
| \(6\) | \(\ 45\) | \(.\) | \(\ 00\) | \(\ 00\) | \(\ 00\) | \(...\) | |
| \(-4\) | |||||||
| \(45)\) | \(2\) | \(45\) | \(-2\) | \(25\) | |||
| \(503)\) | \(20\) | \(00\) | |||||
| \(-15\) | \(09\) | ||||||
| \(5069)\) | \(4\) | \(91\) | \(00\) | ||||
| \(-4\) | \(56\) | \(21\) | |||||
| \(5078)\) | \(34\) | \(79\) | \(00\) | ||||
| \(-30\) | \(47\) | \(16\) | |||||
| \(50792\_)\) | \(4\) | \(31\) | \(84\) | \(00\) | |||
অতএব \(\sqrt{645}\) এর মান \(25.40\) (প্রায়)।
\(x = 5.2=\dfrac{52}{10}=\dfrac{26}{5}\)
আবার,
\(y = \dfrac{5+\sqrt{29}}{2}=5.19258...\) এবং মূলদ সংখ্যা।
\(z = \dfrac{5+\sqrt{29}+\sqrt{29}}{3}=5.25677...\) এবং মূলদ সংখ্যা।
বিকল্প,
এখানে,
\(\ \ \ \sqrt{25} \lt \sqrt{x},\ \sqrt{y},\ \sqrt{z} \lt \sqrt{29}\)
\(=(\sqrt{25})^2 \lt (\sqrt{x})^2,\ (\sqrt{y})^2,\ (\sqrt{z})^2 \lt (\sqrt{29})^2\)
\(=5 \lt x,\ y,\ z \lt 5.385...\)
\(x = 5.2=\dfrac{52}{10}=\dfrac{26}{5}\)
আবার,
\(y = \sqrt{27}=5.19615...\) যেখানে \(\sqrt{25}\) বা \(5 \lt \sqrt{y} \lt \sqrt{29}\) এবং মূলদ সংখ্যা।
\(z = \sqrt{28}=5.2915...\) যেখানে \(\sqrt{25}\) বা \(5 \lt \sqrt{z} \lt \sqrt{29}\) এবং মূলদ সংখ্যা।
\(m = (2n+1)\); যেখানে, \(n\in\mathbb{N}\) [\(\because m\) বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা ]
\(m^2 = (2n+1)^2\)
\(\ \ \ =(2n)^2+2.2n.1+(1)^1\)
\(\ \ \ =(4n^2+4n+1\)
\(\ \ \ =4n(n+1)+1\)
\(\therefore m\) একটি বিজোড় সংখ্যা হলে তার বর্গ \(m^2\) অবশ্যই একটি বিজোড় সংখ্যা হবে।
আবার, \(4n(n+1)+1\) বিজোড় সংখ্যাটির \(4n(n+1)\) অংশ জোড় সংখ্যা এবং \(4\times2=8\) দ্বারা বিভাজ্য হলে তা \(4\) দ্বারাও বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ \(4n(n+1)+1\) সংখ্যাটিকে \(4\) দ্বারা ভাগ করা হলে \(n\in\mathbb{N}\) এর জন্যে প্রতিক্ষেত্রে \(1\) অবশিষ্ট থাকে।
\(\therefore m\) একটি বিজোড় সংখ্যা হলে তার বর্গ \(m^2\) অবশ্যই একটি বিজোড় সংখ্যা হবে।
\(y=3.1\dot{7}\dot{8}=\dfrac{3178-31}{990}=\dfrac{3147}{990}=\dfrac{1049}{330}\)
\(z=6.89\dot{7}9\dot{8}=\dfrac{689798-689}{9990}=\dfrac{689109}{990}=\dfrac{229703}{3330}\)
\(x=4.\dot{8}\dot{9},\ \ y=\ 3.1\dot{7}\dot{8},\ z=6.89\dot{7}9\dot{8},\ p=9.45,\ q=2.8\dot{6}\dot{3}\)
\(x, y\) ও \(z\) যোগ করে পাই \(-\)| \(x=4.\dot{8}\dot{9}=4.89\dot{8}9898\dot{9}\) | \(89...\) |
| \(y=3.1\dot{7}\dot{8}=3.17\dot{8}7878\dot{7}\) | \(87...\) |
| \(z=6.89\dot{7}9\dot{8}=6.89\dot{7}9879\dot{8}\) | \(79...\) |
| \((x+y+z)=14.97\dot{5}7657\dot{6}\) | \(55...\) |
| \(p=9.45=9.45\dot{0}\dot{0}\) | \(00...\) |
| \(q=2.8\dot{6}\dot{3}=2.86\dot{3}\dot{6}\) | \(36...\) |
| \((p-q)=6.58\dot{6}\dot{3}\) | \(64...\) |
\(=\left(\dfrac{3-0}{9}\times\dfrac{83-8}{90}\right)\div\left(\dfrac{5}{10}\times\dfrac{1-0}{9}\right)+\dfrac{35-3}{90}\div\dfrac{8-0}{90}\)
\(=\left(\dfrac{3}{9}\times\dfrac{75}{90}\right)\div\left(\dfrac{5}{10}\times\dfrac{1}{9}\right)+\dfrac{32}{90}\div\dfrac{8}{90}\)
\(=\dfrac{5}{18}\div\dfrac{1}{18}+\dfrac{32}{90}\div\dfrac{8}{90}\)
\(=\dfrac{5}{18}\times\dfrac{18}{1}+\dfrac{32}{90}\times\dfrac{90}{8}\)
\(=5+4\)
\(=9\)
মনেকরি, \(31\) এর চেয়ে বড় \(315\) এর গুণনীয়কের সেট \(A\) এবং \(31\) এর চেয়ে বড় \(525\) এর গুণনীয়কের সেট \(B\)
\(=5\times63\)
\(=7\times45\)
\(=9\times35\)
\(=15\times21\)
\(=5\times105\)
\(=7\times75\)
\(=15\times35\)
\(=21\times25\)
এবং \(B=\{35, 75, 105, 175, 525\}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সেট \((A\cap B)=\{35, 105\}\).
\(\ \ \ \ A=\{x:x\in\mathbb{N}\) এবং \(x^2-5x+6=0\};\ \)
\(\Rightarrow x^2-3x-2x+6=0\)
\(\Rightarrow x(x-3)-2(x-3)=0\)
\(\Rightarrow (x-3)(x-2)=0\)
\(\Rightarrow (x-3)=0\) অথবা, \((x-2)=0\)
\(\Rightarrow x=3\) অথবা, \(x=2\)
\(\Rightarrow x=2,3\)
\(\therefore P(A)=\{\emptyset,\{2\},\{3\},\{2,3\}\}\)
এবং \(C=\{x:x \) মৌলিক সংখ্যা ও \( 2\lt x \le 5 \} \)
\(\ \ =\{3, 5\}\)
\(\therefore P(A)\cap P(C)=\{\emptyset,\{3\},\{5\},\{3,5\}\}\cap \{\emptyset,\{3\},\{5\},\{3,5\}\}\)
\(=\{\emptyset,\{3\}\}\)
\(\ \ \ A\cap C=\{2, 3\}\cap \{3, 5\}\)
\(=\{3\}\)
সুতরাং, \(P\left(A\cap C\right)=P\left(A\right)\cap P\left(C\right) \) [প্রমাণিত]
\(\ \ \ \ A=\{2, 3\}\) এবং \(C =\{3, 5\}\)
দেওয়া আছে,
\(B=\{x:x\in 3\) এর গুণিতক এবং \(0\lt x\le3\}\)
\(\ \ =\{1, 3\}\)
\(=\{2, 3\}\times\{1, 3\}\)
\(=\{(2,1),(2,3),(3,1),(3,3)\}\)
\(=\{2, 3\}\times\{3, 5\}\)
\(=\{(2,3),(2,5),(3,3),(3,5)\}\)
\(=\{(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5)\}\)
\(=\{1, 3, 5\}\)
\(=\{(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5)\}\)
সুতরাং, \( \left(A\times B\right)\cup\left(A\times C\right)=A\times\left(B\cup C\right) \) [প্রমাণিত]অনুচ্ছেদ-২: \( U=\{x\in\mathbb{N}:x\le7\};\ A=\{x\in\mathbb{N}:x^2\gt8 \) এবং \( x^3\lt220\};\) \(\ B=\{x\in\mathbb{N}:x \) মৌলিক সংখ্যা এবং \(x\lt6\};\ \) \(C=\{x\in\mathbb{N}:x,\ 12 \) এর গুণনীয়ক\(\}\)
মন্তব্যসমূহ
একটি মন্তব্য পোস্ট করুন