২য় অধ্যায়: সেট ও ফাংশন
প্রশ্ন - ১:
\(A, B, C\) তিনটি সেট যেখানে, \(A=\{x:x\in\mathbb{N}\) এবং \(x^2-5x+6=0\};\ \)\(B=\{x:x\in 3\) এর গুণনীয়ক এবং \(0\lt x\le3\}\) এবং \(C=\{x:x \) মৌলিক সংখ্যা ও \( 2\lt x \le 5 \} \)
ক. যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা \( 346 \) ও \( 556 \) কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে \( 31 \) অবশিষ্ট থাকে, তাদের সেট নির্ণয় কর। \( [\{ 35, 105 \}] \)
খ. প্রমাণ করো যে, \(P\left(A\cap C\right)=P\left(A\right)\cap P\left(C\right) \)
গ. প্রমাণ করো যে, \( \left(A\times B\right)\cup\left(A\times C\right)=A\times\left(B\cup C\right) \)
১ নং প্রশ্নের সমাধান
ক
যে সকল সংখ্যা দিয়ে \(346\) ও \(556\) কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে \(31\) অবশিষ্ট থাকে, সে সংখ্যাগুলো হবে \(31\) এর চেয়ে বড় এবং \((346-31)=315\) ও \((556-31)=525\) এর সাধারণ গুণনীয়ক।
মনেকরি, \(31\) এর চেয়ে বড় \(315\) এর গুণনীয়কের সেট \(A\) এবং \(31\) এর চেয়ে বড় \(525\) এর গুণনীয়কের সেট \(B\)
\(\ \ \ A=\{35, 45, 63, 105, 315\}\)
এবং \(B=\{35, 75, 105, 175, 525\}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সেট \((A\cap B)=\{35, 105\}\).
মনেকরি, \(31\) এর চেয়ে বড় \(315\) এর গুণনীয়কের সেট \(A\) এবং \(31\) এর চেয়ে বড় \(525\) এর গুণনীয়কের সেট \(B\)
\(315=1\times315\)
\(=3\times105\)
\(=5\times63\)
\(=7\times45\)
\(=9\times35\)
\(=15\times21\)
\(=5\times63\)
\(=7\times45\)
\(=9\times35\)
\(=15\times21\)
\(525=1\times525\)
\(=3\times175\)
\(=5\times105\)
\(=7\times75\)
\(=15\times35\)
\(=21\times25\)
\(=5\times105\)
\(=7\times75\)
\(=15\times35\)
\(=21\times25\)
এবং \(B=\{35, 75, 105, 175, 525\}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সেট \((A\cap B)=\{35, 105\}\).
খ
দেওয়া আছে,
\(\therefore P(A)=\{\emptyset,\{2\},\{3\},\{2,3\}\}\)
এবং \(C=\{x:x \) মৌলিক সংখ্যা ও \( 2\lt x \le 5 \} \)
\(\therefore P(A)\cap P(C)=\{\emptyset,\{3\},\{5\},\{3,5\}\}\cap \{\emptyset,\{3\},\{5\},\{3,5\}\}\)
\(\ \ \ A\cap C=\{2, 3\}\cap \{3, 5\}\)
সুতরাং, \(P\left(A\cap C\right)=P\left(A\right)\cap P\left(C\right) \) [প্রমাণিত]
\(\ \ \ \ A=\{x:x\in\mathbb{N}\) এবং \(x^2-5x+6=0\};\ \)
\(\Rightarrow x^2-3x-2x+6=0\)
\(\Rightarrow x(x-3)-2(x-3)=0\)
\(\Rightarrow (x-3)(x-2)=0\)
\(\Rightarrow (x-3)=0\) অথবা, \((x-2)=0\)
\(\Rightarrow x=3\) অথবা, \(x=2\)
\(\Rightarrow x=2,3\)
\(\therefore P(A)=\{\emptyset,\{2\},\{3\},\{2,3\}\}\)
এবং \(C=\{x:x \) মৌলিক সংখ্যা ও \( 2\lt x \le 5 \} \)
\(\ \ =\{3, 5\}\)
\(\therefore P(A)\cap P(C)=\{\emptyset,\{3\},\{5\},\{3,5\}\}\cap \{\emptyset,\{3\},\{5\},\{3,5\}\}\)
\(=\{\emptyset,\{3\}\}\)
\(\ \ \ A\cap C=\{2, 3\}\cap \{3, 5\}\)
\(=\{3\}\)
সুতরাং, \(P\left(A\cap C\right)=P\left(A\right)\cap P\left(C\right) \) [প্রমাণিত]
গ
‘খ’ হতে পাই \(-\)
\(\ \ \ \ A=\{2, 3\}\) এবং \(C =\{3, 5\}\)
দেওয়া আছে,
\(B=\{x:x\in 3\) এর গুণনীয়ক এবং \(0\lt x\le3\}\)
\(\ \ =\{1, 3\}\)
\(=\{2, 3\}\times\{1, 3\}\)
\(=\{(2,1),(2,3),(3,1),(3,3)\}\)
\(=\{2, 3\}\times\{3, 5\}\)
\(=\{(2,3),(2,5),(3,3),(3,5)\}\)
\(=\{(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5)\}\)
\(=\{1, 3, 5\}\)
\(=\{(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5)\}\)
সুতরাং, \( \left(A\times B\right)\cup\left(A\times C\right)=A\times\left(B\cup C\right) \) [প্রমাণিত] প্রশ্ন - ২:
\( f\left(x\right) \) এবং \( g\left(x\right) \) দুটি ফাংশন এমনভাবে বর্ণিত যে, \( f\left(x\right)=x^3-6x^2+11x-6 \) এবং \( g\left(x\right)=x^3+k^2x^2-4x-8 \)
ক. \( k \) এর কোন মানের জন্যে \( g\left(-2\right)=8 \) হবে? \( [\pm 2] \)
খ. \( f\left(x\right)=0 \) হলে, \( x \) এর মান নির্ণয় কর। \([1, 2, 3] \)
গ. \( x \) এর মান \( A \) সেটের সদস্য এবং \(A\) এর উপাদান সংখ্যা \(n\) হলে, দেখাও যে, \(P(A)\) এর উপাদান সংখ্যা \( 2^n \) কে সমর্থন করে।
২ নং প্রশ্নের সমাধান
ক
দেওয়া আছে, \( g\left(x\right)=x^3+k^2x^2-4x-8 \)
\(\therefore g\left(-2\right)=(-2)^3+k^2(-2)^2-4(-2)-8 \)
\(\therefore g\left(-2\right)=(-2)^3+k^2(-2)^2-4(-2)-8 \)
\(=-8+4k^2+8-8 \)
\(=4k^2-8\)
\(\therefore\ 4k^2-8=8\)
\(\Rightarrow 4k^2=8+8\)
\(\Rightarrow k^2=\dfrac{16}{4}\)
\(\Rightarrow k=\pm\sqrt{4}\)
\(\therefore\ k=\pm 2\)
\(\therefore k\) এর মান \(\pm 2\) হলে \( g\left(-2\right)=8\) হবে।
\(\Rightarrow 4k^2=8+8\)
\(\Rightarrow k^2=\dfrac{16}{4}\)
\(\Rightarrow k=\pm\sqrt{4}\)
\(\therefore\ k=\pm 2\)
খ
দেওয়া আছে, \( f\left(x\right)=x^3-6x^2+11x-6 \)
\(\therefore f\left(1\right)=1^3-6(1)^2+11(1)-6\)
অর্থাৎ \((x-1),\ f\left(x\right)\) এর একটি উৎপাদক।
\(\therefore f\left(x\right)=x^3-6x^2+11x-6\)
\(\therefore f\left(1\right)=1^3-6(1)^2+11(1)-6\)
\(=1-6+11-6\)
\(=12-12\)
\(=0\)
\(\therefore f\left(x\right)=x^3-6x^2+11x-6\)
\(=x^3-6x^2+11x-6\)
\(=x^3-x^2-5x^2+5x+6x-6\)
\(=x^2(x-1)-5x(x-1)+6(x-1)\)
\(=(x-1)(x^2-5x+6)\)
\(=(x-1)(x^2-3x-2x+6)\)
\(=(x-1)\{x(x-3)-2(x-3)\}\)
\(=(x-1)(x-2)(x-3)\)
প্রশ্নমতে, \( f\left(x\right)=0\) \(=x^3-x^2-5x^2+5x+6x-6\)
\(=x^2(x-1)-5x(x-1)+6(x-1)\)
\(=(x-1)(x^2-5x+6)\)
\(=(x-1)(x^2-3x-2x+6)\)
\(=(x-1)\{x(x-3)-2(x-3)\}\)
\(=(x-1)(x-2)(x-3)\)
\(\therefore (x-1)(x-2)(x-3)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0\) অথবা, \(x-2=0\) অথবা, \(x-3=0\)
\(\therefore x=1, 2, 3\)
\(\therefore\) নির্ণেয় \(x\) এর মান \(1, 2, 3\)।
\(\Rightarrow x-1=0\) অথবা, \(x-2=0\) অথবা, \(x-3=0\)
\(\therefore x=1, 2, 3\)
গ
‘খ’ হতে পাই \(-\)
\(\therefore P(A)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}\)
এখানে, \(A\) এর উপাদান সংখ্যা \(n=3\) এবং \(P(A)\) এর উপাদান সংখ্যা \(8\)।
আবার, \(n=3\) হওয়ায়,
\(x\) এর মান \(1, 2, 3\)
অর্থাৎ \(A=\{1,2,3\}\)\(\therefore P(A)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}\)
এখানে, \(A\) এর উপাদান সংখ্যা \(n=3\) এবং \(P(A)\) এর উপাদান সংখ্যা \(8\)।
আবার, \(n=3\) হওয়ায়,
\(2^n=2^3=8\)
সুতরাং, \(A\) এর উপাদান সংখ্যা \(n\) হলে, \(P(A)\) এর উপাদান সংখ্যা \( 2^n \) কে সমর্থন করে। [প্রমাণিত] প্রশ্ন - ৩:
\( y=g\left(z\right)=\dfrac{4z-7}{2z-4}; \) যেখানে \( x\neq2 \) এবং \( f\left(x\right)=\dfrac{3x+1}{3x-1} \)
ক. \( f\left(\dfrac{1}{x}\right) \) এবং \( g\left(-\dfrac{1}{2}\right) \) এর মান কত? \( [\dfrac{3+x}{3-x}, \dfrac{9}{5}] \)
খ. দেখাও যে, \( g\left(y\right)=z\) এবং \(g\left(y\right)=g^{-1}\left(y\right)\)।
গ. যদি \( \dfrac{f\left(\dfrac{1}{x}\right)+1}{f\left(\dfrac{1}{x}\right)-1}=3x+6 \) হয়, তবে \( x^2+\dfrac{1}{x^2} \) এর মান কত? \( [6] \)
৩ নং প্রশ্নের সমাধান
ক
দেওয়া আছে, \( f\left(x\right)=\dfrac{3x+1}{3x-1} \)
\(\therefore f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{3\left(\dfrac{1}{x}\right)+1}{3\left(\dfrac{1}{x}\right)-1} \)
আবার, \(g\left(z\right)=\dfrac{4z-7}{2z-4}\)
\(\therefore g\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{4\left(-\dfrac{1}{2}\right)-7}{2\left(-\dfrac{1}{2}\right)-4}\)
\(\therefore f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{3+x}{3-x}\) এবং \(g\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{9}{5}\)।
\(\therefore f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{3\left(\dfrac{1}{x}\right)+1}{3\left(\dfrac{1}{x}\right)-1} \)
\(=\dfrac{\dfrac{3}{x}+1}{\dfrac{3}{x}-1} \)
\(=\dfrac{\dfrac{3+x}{x}}{\dfrac{3-x}{x}}\)
\(=\dfrac{3+x}{x}\times\dfrac{x}{3-x}\)
\(=\dfrac{3+x}{3-x}\)
\(=\dfrac{-2-7}{-1-4} \)
\(=\dfrac{-9}{-5} \)
\(=\dfrac{9}{5}\)
খ
দেওয়া আছে, \( y=g\left(z\right)=\dfrac{4z-7}{2z-4}; \)
\(\therefore g\left(y\right)=\dfrac{4y-7}{2y-4}\)
আবার, \( y=\dfrac{4z-7}{2z-4}\) এবং \( y=g\left(z\right)\)
\(\therefore \ y\left(2z-4\right)=\left(4z-7\right)\) \(\Rightarrow g\left(z\right)=y\)
\(\Rightarrow 2yz-4y=4z-7\) \(\therefore \ z=g^-1\left(y\right)\)
\(\Rightarrow 2yz-4z=4y-7\)
\(\Rightarrow z\left(2y-4\right)=4y-7\)
\(\Rightarrow z=\dfrac{4y-7}{2y-4}\)
\(\Rightarrow z=g\left(y\right)\) [মান বসিয়ে]
\(\therefore \ g\left(y\right)=z\) এবং \(g\left(y\right)=g^{-1}\left(y\right)\) [প্রমাণিত]
\(\Rightarrow 2yz-4y=4z-7\) \(\therefore \ z=g^-1\left(y\right)\)
\(\Rightarrow 2yz-4z=4y-7\)
\(\Rightarrow z\left(2y-4\right)=4y-7\)
\(\Rightarrow z=\dfrac{4y-7}{2y-4}\)
\(\Rightarrow z=g\left(y\right)\) [মান বসিয়ে]
\(\therefore \ g\left(y\right)=z\) এবং \(g\left(y\right)=g^{-1}\left(y\right)\) [প্রমাণিত]
গ
‘ক’ হতে পাই \(-\)
প্রশ্নমতে, \(\dfrac{f\left(\dfrac{1}{x}\right)+1}{f\left(\dfrac{1}{x}\right)-1}=3x+6\)
\(f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{3+x}{3-x}\)
\(=\dfrac{\dfrac{3+x+3-x}{3-x}}{\dfrac{3+x-3+x}{3-x}}\)
\(=\dfrac{\dfrac{6}{3-x}}{\dfrac{2x}{3-x}}\)
\(=\dfrac{6}{3-x}\times\dfrac{3-x}{2x}\)
\(=\dfrac{3}{x}\)
\(\therefore\ \dfrac{3}{x}=3(x+2)\)
\(\Rightarrow \dfrac{1}{x}=(x+2)\) [উভয় পাশে \(3\) দিয়ে ভাগ করে]
\(\Rightarrow x^2+2x=1\)
\(\Rightarrow x^2-1=2x\)
\(\Rightarrow x-\dfrac{1}{x}=2\) [উভয় পাশে \(x\) দিয়ে ভাগ করে]
\(\Rightarrow \left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2=\left(2\right)^2\) [উভয় পাশে বর্গ করে]
\(\Rightarrow \left(x\right)^2-2.x.\dfrac{1}{x}+\left(\dfrac{1}{x}\right)^2=4\)
\(\Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=4+2\)
\(\therefore\ x^2+\dfrac{1}{x^2}=6\) (উত্তর)
প্রশ্ন - ৪:
\( A=\{ \ \};\ B=\{x\in\mathbb{Z}: x^2 \le 4 \};\ C=\left\{x\in\mathbb{Z}:2\le x\le5\right\};\ D=\{x\in\mathbb{N}:x^2\geq4 \) এবং \( x^3 \lt 343 \} \)
ক. \( P(A) \) এবং এর প্রকৃত উপাদান সংখ্যা নির্ণয় কর। \( [\left\{\ \emptyset\right\};0] \)
খ. \( C\cap D \) নির্ণয় করে তা সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ কর। \( [x\in\mathbb{N}:2\le x\le 5] \)
গ. \( R=\{(x,y):x\in B,\ y\in B \) এবং \( x+y=1\} \) অন্বয়টি তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর এবং এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর। \( [R=\{(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)\} \) ডোম \(R=\{-1,0,1,2\}\) এবং রেঞ্জ \(R=\{-1,0,1,2\}\)
৪ নং প্রশ্নের সমাধান
ক
দেওয়া আছে, \( A=\{ \ \} \)
সুতরাং, \(P(A)\) এর কোনো প্রকৃত উপাদান নেই।
\(\therefore \ P(A)=\{\emptyset\}\)
এখানে, \(P(A)\) এর উপাদান সংখ্যা \(1\) (এক)। এর প্রকৃত উপাদান সংখ্যা হবে \((1-1)=0\)। সুতরাং, \(P(A)\) এর কোনো প্রকৃত উপাদান নেই।
খ
দেওয়া আছে, \(C=\left\{x\in\mathbb{Z}:-2\le x\le5\right\}\); যেখানে, \(\mathbb{Z}=\{... -3,-2,-1,0,1,2,3 ...\}\)
এখানে, \(x=-2, -1,0,1,2,3,4,5\)
এখন, \(x=1\) হলে, \(x^2=1^2=1\ngeq4\) এবং \(x^3=1^3=1\lt 343\)
\(\therefore \ D=\{2,3,4,5,6\}\)
\(\therefore (C\cap D)=\{-2, -1,0,1,2,3,4,5\}\cap \{2,3,4,5,6\}\)
এখানে, \(x=-2, -1,0,1,2,3,4,5\)
\(\therefore \ C=\{-2, -1,0,1,2,3,4,5\}\)
এবং \(D=\{x\in\mathbb{N}:x^2\geq4 \) এবং \( x^3 \lt 343 \}\); যেখানে, \(\mathbb{N}=\{1,2,3 ...\}\)এখন, \(x=1\) হলে, \(x^2=1^2=1\ngeq4\) এবং \(x^3=1^3=1\lt 343\)
\(x=2\) হলে, \(x^2=2^2=4\geq4\) এবং \(x^3=2^3=8\lt 343\)
\(x=3\) হলে, \(x^2=3^2=9\geq4\) এবং \(x^3=3^3=27\lt 343\)
\(x=4\) হলে, \(x^2=4^2=16\geq4\) এবং \(x^3=4^3=64\lt 343\)
\(x=5\) হলে, \(x^2=5^2=25\geq4\) এবং \(x^3=5^3=125\lt 343\)
\(x=6\) হলে, \(x^2=6^2=36\geq4\) এবং \(x^3=6^3=216\lt 343\)
\(x=7\) হলে, \(x^2=7^2=49\geq4\) এবং \(x^3=7^3=343\nless 343\)
এখানে, \(x=2,3,4,5,6\) \(x=3\) হলে, \(x^2=3^2=9\geq4\) এবং \(x^3=3^3=27\lt 343\)
\(x=4\) হলে, \(x^2=4^2=16\geq4\) এবং \(x^3=4^3=64\lt 343\)
\(x=5\) হলে, \(x^2=5^2=25\geq4\) এবং \(x^3=5^3=125\lt 343\)
\(x=6\) হলে, \(x^2=6^2=36\geq4\) এবং \(x^3=6^3=216\lt 343\)
\(x=7\) হলে, \(x^2=7^2=49\geq4\) এবং \(x^3=7^3=343\nless 343\)
\(\therefore \ D=\{2,3,4,5,6\}\)
\(\therefore (C\cap D)=\{-2, -1,0,1,2,3,4,5\}\cap \{2,3,4,5,6\}\)
\(=\{2,3,4,5\}\)
\(=\{x\in\mathbb{N}: 2 \le x \le 5\}\) [সেট গাঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করে]
\(\therefore\) নির্ণেয় \((C\cap D)=\{x\in\mathbb{N}: 2 \le x \le 4\}\)। \(=\{x\in\mathbb{N}: 2 \le x \le 5\}\) [সেট গাঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করে]
গ
দেওয়া আছে, \(B=\{x\in\mathbb{Z}:x^2\geq4 \}\); যেখানে, \(\mathbb{Z}=\{... -3,-2,-1,0,1,2,3 ...\}\)
এখন, \( x=0\) হলে, \(x^2=0^2=1\le 4\)
এখানে, \( x+y=1\)
\(\therefore \) ডোম \(R=\{-1,0,1,2\}\) এবং রেঞ্জ \(R=\{-1,0,1,2\}\)
এখন, \( x=0\) হলে, \(x^2=0^2=1\le 4\)
\(\ \ \ \ x=\pm 1\) হলে, \(x^2=(\pm1)^2=1\le 4\)
\(\ \ \ \ x=\pm 2\) হলে, \(x^2=(\pm2)^2=4\le 4\)
\(\ \ \ \ x=\pm 3\) হলে, \(x^2=(\pm3)^2=9\nleq 4\)
\(\therefore \ B=\{-2,-1,0,1,2\}\)
এবং \( R=\{(x,y):x\in B,\ y\in B \) এবং \( x+y=1\} \)\(\ \ \ \ x=\pm 2\) হলে, \(x^2=(\pm2)^2=4\le 4\)
\(\ \ \ \ x=\pm 3\) হলে, \(x^2=(\pm3)^2=9\nleq 4\)
\(\therefore \ B=\{-2,-1,0,1,2\}\)
এখানে, \( x+y=1\)
\( y=1-x \ \ \ \cdots\ \cdots\cdots\) ①
\(x\in B\) এর বিভিন্ন মানের জন্যে \(y\) এর সংশ্লিষ্ট মান বের করে ছক তৈরি করি \(-\) | \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
| \(y=1-x\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) |
কিন্তু \(y=3\notin B\) অর্থাৎ \((-2,3)\notin R\)
\(\therefore \) নির্ণেয় অন্বয়, \( R=\{(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)\}\) \(\therefore \) ডোম \(R=\{-1,0,1,2\}\) এবং রেঞ্জ \(R=\{-1,0,1,2\}\)
প্রশ্ন - ৫:
অনুচ্ছেদ-১: \( f\left(x\right)=\dfrac{1+x^2+x^4}{x^2} \) একটি ফাংশন। যেখানে, \( x \ne 0 \)
অনুচ্ছেদ-২: \( U=\{x\in\mathbb{N}:x\le7\};\ A=\{x:x,\ 3\) এর গুণিতক এবং \( x\lt 10\};\) \(\ B=\{x\in\mathbb{N}:x \) মৌলিক সংখ্যা এবং \(x\lt6\};\ \) \(C=\{x\in\mathbb{N}:x,\ 12 \) এর গুণনীয়ক\(\}\)
অনুচ্ছেদ-২: \( U=\{x\in\mathbb{N}:x\le7\};\ A=\{x:x,\ 3\) এর গুণিতক এবং \( x\lt 10\};\) \(\ B=\{x\in\mathbb{N}:x \) মৌলিক সংখ্যা এবং \(x\lt6\};\ \) \(C=\{x\in\mathbb{N}:x,\ 12 \) এর গুণনীয়ক\(\}\)
ক. দেখাও যে, \(A^c\ne A\ \backslash U\)
খ. দেখাও যে, \(f\left(x^2\right)=f\left(\dfrac{1}{x^2}\right)\)।
গ. \(S=\{(x,y):x\in C,\ y\in B \) এবং \(y=2x-1\}\) হলে, \(s\) এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর। [ডোম \(S=\{2,3\}\) এবং রেঞ্জ \(S=\{3,5\}\)]
৫ নং প্রশ্নের সমাধান
ক
দেওয়া আছে,
\(A\ \backslash U=A-U\)
\( U=\{x\in\mathbb{N}:x\le7\} \)
\(\ \ \ =\{1,2,3,4,5,6,7\}\)
\( A=\{x:x,\ 3\) এর গুণিতক এবং \( x\lt 10\} \)
\(\ \ \ =\{3,6,9\}\)
\(A^c=U\ \backslash A\) বা, \(U-A\)\(\ \ \ =\{1,2,3,4,5,6,7\}\)
\( A=\{x:x,\ 3\) এর গুণিতক এবং \( x\lt 10\} \)
\(\ \ \ =\{3,6,9\}\)
\(=\{1,2,3,4,5,6,7\}-\{3,6,9\}\)
\(=\{1,2,4,5,6,7\}\)
আবার, \(=\{1,2,4,5,6,7\}\)
\(A\ \backslash U=A-U\)
\(=\{3,6,9\}\)-\{1,2,3,4,5,6,7\}
\(=\{6,9\}\)
সুতরাং, \(A^c\ne A\ \backslash U\) [দেখনো হলো]
\(=\{6,9\}\)
খ
দেওয়া আছে, \( f\left(x\right)=\dfrac{1+x^2+x^4}{x^2} \)
\(\therefore \ f\left(x^2\right)=\dfrac{1+(x^2)^2+(x^2)^4}{(x^2)^2}\)
\(\therefore \ f\left(\dfrac{1}{x^2}\right)=\dfrac{1+\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^4}{\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^2}\)
\(\therefore \ f\left(x^2\right)=\dfrac{1+(x^2)^2+(x^2)^4}{(x^2)^2}\)
\(\ \ \ =\dfrac{1+x^4+x^8}{x^4}\)
একইভাবে, \(\therefore \ f\left(\dfrac{1}{x^2}\right)=\dfrac{1+\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^4}{\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^2}\)
\(=\dfrac{1+\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1}{x^8}}{\dfrac{1}{x^4}}\)
\(=\dfrac{\dfrac{x^8+x^4+1}{x^8}}{\dfrac{1}{x^4}}\)
\(=\dfrac{x^8+x^4+1}{x^8}\times\dfrac{x^4}{1}\)
\(=\dfrac{1+x^4+x^8}{x^4}\)
\(\therefore f\left(x^2\right)=f\left(\dfrac{1}{x^2}\right)\)। [প্রমাণিত]\(=\dfrac{\dfrac{x^8+x^4+1}{x^8}}{\dfrac{1}{x^4}}\)
\(=\dfrac{x^8+x^4+1}{x^8}\times\dfrac{x^4}{1}\)
\(=\dfrac{1+x^4+x^8}{x^4}\)
গ
দেওয়া আছে, \(\ B=\{x\in\mathbb{N}:x \) মৌলিক সংখ্যা এবং \(x\lt6\};\ \)
\(=\{2,3,5\}\)
\(C=\{x\in\mathbb{N}:x,\ 12 \) এর গুণনীয়ক\(\}\)
\(=\{1,2,3,4,6,12\}\)
এবং \(S=\{(x,y):x\in C,\ y\in B \) এবং \(y=2x-1\}\)
এখানে,
\(\therefore \) ডোম \(S=\{2,3\}\) এবং রেঞ্জ \(S=\{3,5\}\)
\(=\{2,3,5\}\)
\(C=\{x\in\mathbb{N}:x,\ 12 \) এর গুণনীয়ক\(\}\)
\(=\{1,2,3,4,6,12\}\)
এবং \(S=\{(x,y):x\in C,\ y\in B \) এবং \(y=2x-1\}\)
এখানে,
\(y=2x-1\} \ \ \ \cdots\ \cdots\cdots\) ①
\(x\in C\) এর বিভিন্ন মানের জন্যে \(y\) এর সংশ্লিষ্ট মান বের করে ছক তৈরি করি \(-\) | \(x\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(6\) | \(12\) |
| \(y=2x-1\) | \(1\) | \(3\) | \(5\) | \(7\) | \(11\) | \(23\) |
কিন্তু \(y=1,7,11,23\notin B\) অর্থাৎ \((1,1),(4,7),(6,11),(12,23)\notin S\)
\(\therefore \) নির্ণেয় অন্বয়, \( S=\{(2,3),(3,5)\}\) \(\therefore \) ডোম \(S=\{2,3\}\) এবং রেঞ্জ \(S=\{3,5\}\)
প্রশ্ন - ৬:
ক. উদ্দীপকটি ব্যবহার করে \(A\cup\left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap\left(A\cup C\right)\) সম্পর্কটির সত্যতা যাচাই কর।
খ. \(S=\{(x,y):x\in(B\cup C)^c,\ y\in U\) এবং \(y=7x+1\}\) হলে, S নির্ণয় করে দেখাও যে, S এর অনন্য উপাদানটির মান \((1,\ 8)\)।
গ. \((2x+3y,\ 3x-2y)= S\) এর অনন্য উপাদান হলে, \((x,\ y)\) এর মান নির্ণয় কর। \([(2,\ -1)]\)
৬ নং প্রশ্নের সমাধান
ক
উদ্দীপকের লেখচিত্র অনুযায়ী, \(A=\{1,2,3,4\}\)
\(B=\{2,3,5,7\}\)
\(C=\{3,4,5,6\}\)
\(B\cap C=\{3,5\}\)
\(A\cup B=\{1,2,3,4,5,7\}\)
\(A\cup C=\{1,2,3,4,5,6\}\)
\(\therefore (A\cup (B\cap C)=\{1,2,3,4,5\}\)
আাবার,
\(\therefore (A\cup B)\cap (A\cup C)=\{1,2,3,4,5\}\)
অতএব,\(A\cup\left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap\left(A\cup C\right)\)। [প্রমাণিত]
\(B=\{2,3,5,7\}\)
\(C=\{3,4,5,6\}\)
\(B\cap C=\{3,5\}\)
\(A\cup B=\{1,2,3,4,5,7\}\)
\(A\cup C=\{1,2,3,4,5,6\}\)
\(\therefore (A\cup (B\cap C)=\{1,2,3,4,5\}\)
আাবার,
\(\therefore (A\cup B)\cap (A\cup C)=\{1,2,3,4,5\}\)
অতএব,\(A\cup\left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap\left(A\cup C\right)\)। [প্রমাণিত]
খ
উদ্দীপকের লেখচিত্র অনুযায়ী, \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\)
\((B\cup C)=\{2,3,4,5,6,7\}\)
\(\therefore (B\cap C)^c=U-(B\cap C)\)
\(=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}-\{2,3,4,5,6,7\}\)
\(=\{1,8\}\)
এবং \(S=\{(x,y):x\in(B\cup C)^c,\ y\in U\) এবং \(y=7x+1\}\)
এখানে,
অতএব, \(S\) এর অনন্য উপাদানটি \((1,8)\)। [দেখানো হলো]
\((B\cup C)=\{2,3,4,5,6,7\}\)
\(\therefore (B\cap C)^c=U-(B\cap C)\)
\(=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}-\{2,3,4,5,6,7\}\)
\(=\{1,8\}\)
এবং \(S=\{(x,y):x\in(B\cup C)^c,\ y\in U\) এবং \(y=7x+1\}\)
এখানে,
\(y=7x+1\} \ \ \ \cdots\ \cdots\cdots\) ①
\(x\in (B\cup C)^c\) এর বিভিন্ন মানের জন্যে \(y\) এর সংশ্লিষ্ট মান বের করে ছক তৈরি করি \(-\) | \(x\) | \(1\) | \(8\) |
| \(y=7x+1\) | \(8\) | \(57\) |
কিন্তু \(y=57\notin U\) অর্থাৎ \((8,57)\notin S\)
\(\therefore \) নির্ণেয় অন্বয়, \( S=\{(1,8)\}\) অতএব, \(S\) এর অনন্য উপাদানটি \((1,8)\)। [দেখানো হলো]
গ
‘খ’ হতে পাই \(-\)
কার্তেসীয় গুণজ এর নিয়ম অনুসারে,
\(x\) এর মান ① সমীকরণে বসিয়ে পাই \(-\)
\(S\) এর অনন্য উপাদানটি \((1,8)\)।
কার্তেসীয় গুণজ এর নিয়ম অনুসারে,
\(2x+3y=1\ \ \ \cdots\ \cdots\ \cdots\ \) ①
\(3x-2y=8\ \ \ \cdots\ \cdots\ \cdots\ \) ②
| \(4x+6y=2\) |
| \(9x-6y=24\) |
| \(\ \ \ 13x=26\) \(\Rightarrow x=\dfrac{26}{13}\) \(\therefore\ x=2\) |
\(\ \ \ 2.2+3y=1\)
\(\Rightarrow 3y=1-4\)
\(\Rightarrow y=-\dfrac{3}{3}\)
\(\therefore\ y=-1\)
মন্তব্যসমূহ
একটি মন্তব্য পোস্ট করুন