Math Resolution For SSC Chapter-2

২য় অধ্যায়: সেট ও ফাংশন

প্রশ্ন - ১:

$A, B, C$ তিনটি সেট যেখানে, $A=\{x:x\in\mathbb{N}$ এবং $x^2-5x+6=0\};\ $$B=\{x:x\in 3$ এর গুণনীয়ক এবং $0\lt x\le3\}$ এবং $C=\{x:x$ মৌলিক সংখ্যা ও $2\lt x \le 5 \}$

ক. যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা $346$ ও $556$ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে $31$ অবশিষ্ট থাকে, তাদের সেট নির্ণয় কর। $[\{ 35, 105 \}]$

খ. প্রমাণ করো যে, $P\left(A\cap C\right)=P\left(A\right)\cap P\left(C\right)$

গ. প্রমাণ করো যে, $\left(A\times B\right)\cup\left(A\times C\right)=A\times\left(B\cup C\right)$

১ নং প্রশ্নের সমাধান

ক

যে সকল সংখ্যা দিয়ে $346$ ও $556$ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে $31$ অবশিষ্ট থাকে, সে সংখ্যাগুলো হবে $31$ এর চেয়ে বড় এবং $(346-31)=315$ ও $(556-31)=525$ এর সাধারণ গুণনীয়ক।
মনেকরি, $31$ এর চেয়ে বড় $315$ এর গুণনীয়কের সেট $A$ এবং $31$ এর চেয়ে বড় $525$ এর গুণনীয়কের সেট $B$

$315=1\times315$

$=3\times105$
$=5\times63$
$=7\times45$
$=9\times35$
$=15\times21$

$525=1\times525$

$=3\times175$
$=5\times105$
$=7\times75$
$=15\times35$
$=21\times25$

$\ \ \ A=\{35, 45, 63, 105, 315\}$
এবং $B=\{35, 75, 105, 175, 525\}$
$\therefore$ নির্ণেয় সেট $(A\cap B)=\{35, 105\}$.

খ

দেওয়া আছে,

$\ \ \ \ A=\{x:x\in\mathbb{N}$ এবং $x^2-5x+6=0\};\ $

এখন, $x^2-5x+6=0$

$\Rightarrow x^2-3x-2x+6=0$
$\Rightarrow x(x-3)-2(x-3)=0$
$\Rightarrow (x-3)(x-2)=0$
$\Rightarrow (x-3)=0$ অথবা, $(x-2)=0$
$\Rightarrow x=3$ অথবা, $x=2$
$\Rightarrow x=2,3$

অর্থাৎ $A=\{2, 3\}$
$\therefore P(A)=\{\emptyset,\{2\},\{3\},\{2,3\}\}$
এবং $C=\{x:x$ মৌলিক সংখ্যা ও $2\lt x \le 5 \}$

$\ \ =\{3, 5\}$

$\therefore P(C)=\{\emptyset,\{3\},\{5\},\{3,5\}\}$
$\therefore P(A)\cap P(C)=\{\emptyset,\{3\},\{5\},\{3,5\}\}\cap \{\emptyset,\{3\},\{5\},\{3,5\}\}$

$=\{\emptyset,\{3\}\}$

আবার,
$\ \ \ A\cap C=\{2, 3\}\cap \{3, 5\}$

$=\{3\}$

$\therefore P(A\cap C)=\{\emptyset,\{3\}\}$
সুতরাং, $P\left(A\cap C\right)=P\left(A\right)\cap P\left(C\right)$ [প্রমাণিত]

গ

‘খ’ হতে পাই $-$

$\ \ \ \ A=\{2, 3\}$ এবং $C =\{3, 5\}$

দেওয়া আছে,

$B=\{x:x\in 3$ এর গুণনীয়ক এবং $0\lt x\le3\}$
$\ \ =\{1, 3\}$

$\therefore (A\times B)=\{2, 3\}\times\{1, 3\}$

$=\{2, 3\}\times\{1, 3\}$
$=\{(2,1),(2,3),(3,1),(3,3)\}$

$\therefore (A\times C)=\{2, 3\}\times\{3, 5\}$

$=\{2, 3\}\times\{3, 5\}$
$=\{(2,3),(2,5),(3,3),(3,5)\}$

$\therefore (A\times B)\cup (A\times C)=\{(2,1),(2,3),(3,1),(3,3)\}\cup \{(2,3),(2,5),(3,3),(3,5)\}$

$=\{(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5)\}$

আবার, $B\cup C=\{1, 3\}\cap \{3, 5\}$

$=\{1, 3, 5\}$

$\therefore A\times (B\cup C)=\{2, 3\}\times\{1, 3, 5\}$

$=\{(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5)\}$

সুতরাং, $\left(A\times B\right)\cup\left(A\times C\right)=A\times\left(B\cup C\right)$ [প্রমাণিত]

প্রশ্ন - ২:

$f\left(x\right)$ এবং $g\left(x\right)$ দুটি ফাংশন এমনভাবে বর্ণিত যে, $f\left(x\right)=x^3-6x^2+11x-6$ এবং $g\left(x\right)=x^3+k^2x^2-4x-8$

ক. $k$ এর কোন মানের জন্যে $g\left(-2\right)=8$ হবে? $[\pm 2]$

খ. $f\left(x\right)=0$ হলে, $x$ এর মান নির্ণয় কর। $[1, 2, 3]$

গ. $x$ এর মান $A$ সেটের সদস্য এবং $A$ এর উপাদান সংখ্যা $n$ হলে, দেখাও যে, $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা $2^n$ কে সমর্থন করে।

২ নং প্রশ্নের সমাধান

ক

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=x^3+k^2x^2-4x-8$
$\therefore g\left(-2\right)=(-2)^3+k^2(-2)^2-4(-2)-8$

    $=-8+4k^2+8-8$
    $=4k^2-8$

প্রশ্নমতে, $g\left(-2\right)=8$

$\therefore\ 4k^2-8=8$
$\Rightarrow 4k^2=8+8$
$\Rightarrow k^2=\dfrac{16}{4}$
$\Rightarrow k=\pm\sqrt{4}$
$\therefore\ k=\pm 2$

$\therefore k$ এর মান $\pm 2$ হলে $g\left(-2\right)=8$ হবে।

খ

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^3-6x^2+11x-6$
$\therefore f\left(1\right)=1^3-6(1)^2+11(1)-6$

$=1-6+11-6$
$=12-12$
$=0$

অর্থাৎ $(x-1),\ f\left(x\right)$ এর একটি উৎপাদক।
$\therefore f\left(x\right)=x^3-6x^2+11x-6$

$=x^3-6x^2+11x-6$
$=x^3-x^2-5x^2+5x+6x-6$
$=x^2(x-1)-5x(x-1)+6(x-1)$
$=(x-1)(x^2-5x+6)$
$=(x-1)(x^2-3x-2x+6)$
$=(x-1)\{x(x-3)-2(x-3)\}$
$=(x-1)(x-2)(x-3)$

প্রশ্নমতে, $f\left(x\right)=0$

$\therefore (x-1)(x-2)(x-3)=0$
$\Rightarrow x-1=0$ অথবা, $x-2=0$ অথবা, $x-3=0$
$\therefore x=1, 2, 3$

$\therefore$ নির্ণেয় $x$ এর মান $1, 2, 3$।

গ

‘খ’ হতে পাই $-$

$x$ এর মান $1, 2, 3$

অর্থাৎ $A=\{1,2,3\}$
$\therefore P(A)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$
এখানে, $A$ এর উপাদান সংখ্যা $n=3$ এবং $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা $8$।
আবার, $n=3$ হওয়ায়,

$2^n=2^3=8$

সুতরাং, $A$ এর উপাদান সংখ্যা $n$ হলে, $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা $2^n$ কে সমর্থন করে। [প্রমাণিত]

প্রশ্ন - ৩:

$y=g\left(z\right)=\dfrac{4z-7}{2z-4};$ যেখানে $x\neq2$ এবং $f\left(x\right)=\dfrac{3x+1}{3x-1}$

ক. $f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ এবং $g\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ এর মান কত? $[\dfrac{3+x}{3-x}, \dfrac{9}{5}]$

খ. দেখাও যে, $g\left(y\right)=z$ এবং $g\left(y\right)=g^{-1}\left(y\right)$।

গ. যদি $\dfrac{f\left(\dfrac{1}{x}\right)+1}{f\left(\dfrac{1}{x}\right)-1}=3x+6$ হয়, তবে $x^2+\dfrac{1}{x^2}$ এর মান কত? $[6]$

৩ নং প্রশ্নের সমাধান

ক

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\dfrac{3x+1}{3x-1}$
$\therefore f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{3\left(\dfrac{1}{x}\right)+1}{3\left(\dfrac{1}{x}\right)-1}$

$=\dfrac{\dfrac{3}{x}+1}{\dfrac{3}{x}-1}$
$=\dfrac{\dfrac{3+x}{x}}{\dfrac{3-x}{x}}$
$=\dfrac{3+x}{x}\times\dfrac{x}{3-x}$
$=\dfrac{3+x}{3-x}$

আবার, $g\left(z\right)=\dfrac{4z-7}{2z-4}$ $\therefore g\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{4\left(-\dfrac{1}{2}\right)-7}{2\left(-\dfrac{1}{2}\right)-4}$

$=\dfrac{-2-7}{-1-4}$
$=\dfrac{-9}{-5}$
$=\dfrac{9}{5}$

$\therefore f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{3+x}{3-x}$ এবং $g\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{9}{5}$।

খ

দেওয়া আছে, $y=g\left(z\right)=\dfrac{4z-7}{2z-4};$

$\therefore g\left(y\right)=\dfrac{4y-7}{2y-4}$

আবার, $y=\dfrac{4z-7}{2z-4}$            এবং $y=g\left(z\right)$

$\therefore \ y\left(2z-4\right)=\left(4z-7\right)$       $\Rightarrow g\left(z\right)=y$
$\Rightarrow 2yz-4y=4z-7$       $\therefore \ z=g^-1\left(y\right)$
$\Rightarrow 2yz-4z=4y-7$
$\Rightarrow z\left(2y-4\right)=4y-7$
$\Rightarrow z=\dfrac{4y-7}{2y-4}$
$\Rightarrow z=g\left(y\right)$   [মান বসিয়ে]
$\therefore \ g\left(y\right)=z$   এবং $g\left(y\right)=g^{-1}\left(y\right)$   [প্রমাণিত]

গ

‘ক’ হতে পাই $-$

$f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{3+x}{3-x}$

$\therefore\ \dfrac{f\left(\dfrac{1}{x}\right)+1}{f\left(\dfrac{1}{x}\right)-1}=\dfrac{\dfrac{3+x}{3-x}+1}{\dfrac{3+x}{3-x}-1}$

$=\dfrac{\dfrac{3+x+3-x}{3-x}}{\dfrac{3+x-3+x}{3-x}}$
$=\dfrac{\dfrac{6}{3-x}}{\dfrac{2x}{3-x}}$
$=\dfrac{6}{3-x}\times\dfrac{3-x}{2x}$
$=\dfrac{3}{x}$

প্রশ্নমতে, $\dfrac{f\left(\dfrac{1}{x}\right)+1}{f\left(\dfrac{1}{x}\right)-1}=3x+6$

$\therefore\ \dfrac{3}{x}=3(x+2)$
$\Rightarrow \dfrac{1}{x}=(x+2)$   [উভয় পাশে $3$ দিয়ে ভাগ করে]
$\Rightarrow x^2+2x=1$
$\Rightarrow x^2-1=2x$
$\Rightarrow x-\dfrac{1}{x}=2$   [উভয় পাশে $x$ দিয়ে ভাগ করে]
$\Rightarrow \left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2=\left(2\right)^2$   [উভয় পাশে বর্গ করে]
$\Rightarrow \left(x\right)^2-2.x.\dfrac{1}{x}+\left(\dfrac{1}{x}\right)^2=4$
$\Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=4+2$
$\therefore\ x^2+\dfrac{1}{x^2}=6$   (উত্তর)

প্রশ্ন - ৪:

$A=\{ \ \};\ B=\{x\in\mathbb{Z}: x^2 \le 4 \};\ C=\left\{x\in\mathbb{Z}:2\le x\le5\right\};\ D=\{x\in\mathbb{N}:x^2\geq4$ এবং $x^3 \lt 343 \}$

ক. $P(A)$ এবং এর প্রকৃত উপাদান সংখ্যা নির্ণয় কর। $[\left\{\ \emptyset\right\};0]$

খ. $C\cap D$ নির্ণয় করে তা সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ কর। $[x\in\mathbb{N}:2\le x\le 5]$

গ. $R=\{(x,y):x\in B,\ y\in B$ এবং $x+y=1\}$ অন্বয়টি তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর এবং এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর। $[R=\{(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)\}$ ডোম $R=\{-1,0,1,2\}$ এবং রেঞ্জ $R=\{-1,0,1,2\}$

৪ নং প্রশ্নের সমাধান

ক

দেওয়া আছে, $A=\{ \ \}$

$\therefore \ P(A)=\{\emptyset\}$

এখানে, $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা $1$ (এক)। এর প্রকৃত উপাদান সংখ্যা হবে $(1-1)=0$।
সুতরাং, $P(A)$ এর কোনো প্রকৃত উপাদান নেই।

খ

দেওয়া আছে, $C=\left\{x\in\mathbb{Z}:-2\le x\le5\right\}$;   যেখানে, $\mathbb{Z}=\{... -3,-2,-1,0,1,2,3 ...\}$
এখানে, $x=-2, -1,0,1,2,3,4,5$

$\therefore \ C=\{-2, -1,0,1,2,3,4,5\}$

এবং $D=\{x\in\mathbb{N}:x^2\geq4$ এবং $x^3 \lt 343 \}$;   যেখানে, $\mathbb{N}=\{1,2,3 ...\}$
এখন, $x=1$ হলে, $x^2=1^2=1\ngeq4$ এবং $x^3=1^3=1\lt 343$

$x=2$ হলে, $x^2=2^2=4\geq4$ এবং $x^3=2^3=8\lt 343$
$x=3$ হলে, $x^2=3^2=9\geq4$ এবং $x^3=3^3=27\lt 343$
$x=4$ হলে, $x^2=4^2=16\geq4$ এবং $x^3=4^3=64\lt 343$
$x=5$ হলে, $x^2=5^2=25\geq4$ এবং $x^3=5^3=125\lt 343$
$x=6$ হলে, $x^2=6^2=36\geq4$ এবং $x^3=6^3=216\lt 343$
$x=7$ হলে, $x^2=7^2=49\geq4$ এবং $x^3=7^3=343\nless 343$

এখানে, $x=2,3,4,5,6$
$\therefore \ D=\{2,3,4,5,6\}$
$\therefore (C\cap D)=\{-2, -1,0,1,2,3,4,5\}\cap \{2,3,4,5,6\}$

    $=\{2,3,4,5\}$
    $=\{x\in\mathbb{N}: 2 \le x \le 5\}$   [সেট গাঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করে]

$\therefore$ নির্ণেয় $(C\cap D)=\{x\in\mathbb{N}: 2 \le x \le 4\}$।

গ

দেওয়া আছে, $B=\{x\in\mathbb{Z}:x^2\geq4 \}$;   যেখানে, $\mathbb{Z}=\{... -3,-2,-1,0,1,2,3 ...\}$
এখন,   $x=0$ হলে, $x^2=0^2=1\le 4$

$\ \ \ \ x=\pm 1$ হলে, $x^2=(\pm1)^2=1\le 4$
$\ \ \ \ x=\pm 2$ হলে, $x^2=(\pm2)^2=4\le 4$
$\ \ \ \ x=\pm 3$ হলে, $x^2=(\pm3)^2=9\nleq 4$
$\therefore \ B=\{-2,-1,0,1,2\}$

এবং $R=\{(x,y):x\in B,\ y\in B$ এবং $x+y=1\}$
এখানে, $x+y=1$

$y=1-x \ \ \ \cdots\ \cdots\cdots$ ①

$x\in B$ এর বিভিন্ন মানের জন্যে $y$ এর সংশ্লিষ্ট মান বের করে ছক তৈরি করি $-$

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y=1-x$	$3$	$2$	$1$	$0$	$-1$

কিন্তু $y=3\notin B$ অর্থাৎ $(-2,3)\notin R$

$\therefore$ নির্ণেয় অন্বয়, $R=\{(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)\}$
$\therefore$ ডোম $R=\{-1,0,1,2\}$ এবং রেঞ্জ $R=\{-1,0,1,2\}$

প্রশ্ন - ৫:

অনুচ্ছেদ-১: $f\left(x\right)=\dfrac{1+x^2+x^4}{x^2}$ একটি ফাংশন। যেখানে, $x \ne 0$
অনুচ্ছেদ-২: $U=\{x\in\mathbb{N}:x\le7\};\ A=\{x:x,\ 3$ এর গুণিতক এবং $x\lt 10\};$ $\ B=\{x\in\mathbb{N}:x$ মৌলিক সংখ্যা এবং $x\lt6\};\ $ $C=\{x\in\mathbb{N}:x,\ 12$ এর গুণনীয়ক$\}$

ক. দেখাও যে, $A^c\ne A\ \backslash U$

খ. দেখাও যে, $f\left(x^2\right)=f\left(\dfrac{1}{x^2}\right)$।

গ. $S=\{(x,y):x\in C,\ y\in B$ এবং $y=2x-1\}$ হলে, $s$ এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর। [ডোম $S=\{2,3\}$ এবং রেঞ্জ $S=\{3,5\}$]

৫ নং প্রশ্নের সমাধান

ক

দেওয়া আছে,

$U=\{x\in\mathbb{N}:x\le7\}$
$\ \ \ =\{1,2,3,4,5,6,7\}$
$A=\{x:x,\ 3$ এর গুণিতক এবং $x\lt 10\}$
$\ \ \ =\{3,6,9\}$

$A^c=U\ \backslash A$ বা, $U-A$

$=\{1,2,3,4,5,6,7\}-\{3,6,9\}$
$=\{1,2,4,5,6,7\}$

আবার,
$A\ \backslash U=A-U$

$=\{3,6,9\}$-\{1,2,3,4,5,6,7\}
$=\{6,9\}$

সুতরাং, $A^c\ne A\ \backslash U$   [দেখনো হলো]

খ

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\dfrac{1+x^2+x^4}{x^2}$
$\therefore \ f\left(x^2\right)=\dfrac{1+(x^2)^2+(x^2)^4}{(x^2)^2}$

$\ \ \ =\dfrac{1+x^4+x^8}{x^4}$

একইভাবে,
$\therefore \ f\left(\dfrac{1}{x^2}\right)=\dfrac{1+\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^4}{\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^2}$

    $=\dfrac{1+\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1}{x^8}}{\dfrac{1}{x^4}}$
    $=\dfrac{\dfrac{x^8+x^4+1}{x^8}}{\dfrac{1}{x^4}}$
    $=\dfrac{x^8+x^4+1}{x^8}\times\dfrac{x^4}{1}$
    $=\dfrac{1+x^4+x^8}{x^4}$

$\therefore f\left(x^2\right)=f\left(\dfrac{1}{x^2}\right)$। [প্রমাণিত]

গ

দেওয়া আছে, $\ B=\{x\in\mathbb{N}:x$ মৌলিক সংখ্যা এবং $x\lt6\};\ $
        $=\{2,3,5\}$
      $C=\{x\in\mathbb{N}:x,\ 12$ এর গুণনীয়ক$\}$
        $=\{1,2,3,4,6,12\}$
এবং $S=\{(x,y):x\in C,\ y\in B$ এবং $y=2x-1\}$
এখানে,

$y=2x-1\} \ \ \ \cdots\ \cdots\cdots$ ①

$x\in C$ এর বিভিন্ন মানের জন্যে $y$ এর সংশ্লিষ্ট মান বের করে ছক তৈরি করি $-$

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$6$	$12$
$y=2x-1$	$1$	$3$	$5$	$7$	$11$	$23$

কিন্তু $y=1,7,11,23\notin B$ অর্থাৎ $(1,1),(4,7),(6,11),(12,23)\notin S$

$\therefore$ নির্ণেয় অন্বয়, $S=\{(2,3),(3,5)\}$
$\therefore$ ডোম $S=\{2,3\}$ এবং রেঞ্জ $S=\{3,5\}$

প্রশ্ন - ৬:

ক. উদ্দীপকটি ব্যবহার করে $A\cup\left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap\left(A\cup C\right)$ সম্পর্কটির সত্যতা যাচাই কর।

খ. $S=\{(x,y):x\in(B\cup C)^c,\ y\in U$ এবং $y=7x+1\}$ হলে, S নির্ণয় করে দেখাও যে, S এর অনন্য উপাদানটির মান ‍$(1,\ 8)$।

গ. $(2x+3y,\ 3x-2y)= S$ এর অনন্য উপাদান হলে, $(x,\ y)$ এর মান নির্ণয় কর। $[(2,\ -1)]$

৬ নং প্রশ্নের সমাধান

ক

উদ্দীপকের লেখচিত্র অনুযায়ী, $A=\{1,2,3,4\}$
      $B=\{2,3,5,7\}$
      $C=\{3,4,5,6\}$
      $B\cap C=\{3,5\}$
      $A\cup B=\{1,2,3,4,5,7\}$
      $A\cup C=\{1,2,3,4,5,6\}$
$\therefore (A\cup (B\cap C)=\{1,2,3,4,5\}$
আাবার,
$\therefore (A\cup B)\cap (A\cup C)=\{1,2,3,4,5\}$
অতএব,$A\cup\left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap\left(A\cup C\right)$।   [প্রমাণিত]

খ

উদ্দীপকের লেখচিত্র অনুযায়ী, $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$
      $(B\cup C)=\{2,3,4,5,6,7\}$
      $\therefore (B\cap C)^c=U-(B\cap C)$
          $=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}-\{2,3,4,5,6,7\}$
          $=\{1,8\}$
এবং $S=\{(x,y):x\in(B\cup C)^c,\ y\in U$ এবং $y=7x+1\}$
এখানে,

$y=7x+1\} \ \ \ \cdots\ \cdots\cdots$ ①

$x\in (B\cup C)^c$ এর বিভিন্ন মানের জন্যে $y$ এর সংশ্লিষ্ট মান বের করে ছক তৈরি করি $-$

$x$	$1$	$8$
$y=7x+1$	$8$	$57$

কিন্তু $y=57\notin U$ অর্থাৎ $(8,57)\notin S$

$\therefore$ নির্ণেয় অন্বয়, $S=\{(1,8)\}$
অতএব, $S$ এর অনন্য উপাদানটি $(1,8)$।   [দেখানো হলো]

গ

‘খ’ হতে পাই $-$

$S$ এর অনন্য উপাদানটি $(1,8)$।

প্রশ্নমতে, $(2x+3y,\ 3x-2y)= (1,8)$
কার্তেসীয় গুণজ এর নিয়ম অনুসারে,

$2x+3y=1\ \ \ \cdots\ \cdots\ \cdots\ $   ①
$3x-2y=8\ \ \ \cdots\ \cdots\ \cdots\ $   ②

① সমীকরণকে $2$ ও ② সমীকরণকে $3$ দিয়ে গুণ করে যোগ করি।

$4x+6y=2$

$9x-6y=24$

$\ \ \ 13x=26$ $\Rightarrow x=\dfrac{26}{13}$   $\therefore\ x=2$

$x$ এর মান ① সমীকরণে বসিয়ে পাই $-$

$\ \ \ 2.2+3y=1$
$\Rightarrow 3y=1-4$
$\Rightarrow y=-\dfrac{3}{3}$
  $\therefore\ y=-1$

$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান: $(x,y)=(2,-1)$।   (উত্তর)