Processing math: 100%
সরাসরি প্রধান সামগ্রীতে চলে যান

Math Resolution For SSC Chapter-2

২য় অধ্যায়: সেট ও ফাংশন
প্রশ্ন - ১:
A,B,C তিনটি সেট যেখানে, A={x:xN এবং x25x+6=0}; B={x:x3 এর গুণনীয়ক এবং 0<x3} এবং C={x:x মৌলিক সংখ্যা ও 2<x5}
ক. যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 346556 কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 31 অবশিষ্ট থাকে, তাদের সেট নির্ণয় কর। [{35,105}]
খ. প্রমাণ করো যে, P(AC)=P(A)P(C)
গ. প্রমাণ করো যে, (A×B)(A×C)=A×(BC)
১ নং প্রশ্নের সমাধান
যে সকল সংখ্যা দিয়ে 346556 কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 31 অবশিষ্ট থাকে, সে সংখ্যাগুলো হবে 31 এর চেয়ে বড় এবং (34631)=315(55631)=525 এর সাধারণ গুণনীয়ক।
মনেকরি, 31 এর চেয়ে বড় 315 এর গুণনীয়কের সেট A এবং 31 এর চেয়ে বড় 525 এর গুণনীয়কের সেট B
315=1×315
=3×105
=5×63
=7×45
=9×35
=15×21
525=1×525
=3×175
=5×105
=7×75
=15×35
=21×25
   A={35,45,63,105,315}
এবং B={35,75,105,175,525}
নির্ণেয় সেট (AB)={35,105}.

দেওয়া আছে,

    A={x:xN এবং x25x+6=0}; 

এখন, x25x+6=0

x23x2x+6=0
x(x3)2(x3)=0
(x3)(x2)=0
(x3)=0 অথবা, (x2)=0
x=3 অথবা, x=2
x=2,3

অর্থাৎ A={2,3}
P(A)={,{2},{3},{2,3}}
এবং C={x:x মৌলিক সংখ্যা ও 2<x5}

  ={3,5}

P(C)={,{3},{5},{3,5}}
P(A)P(C)={,{3},{5},{3,5}}{,{3},{5},{3,5}}

={,{3}}

আবার,
   AC={2,3}{3,5}

={3}

P(AC)={,{3}}
সুতরাং, P(AC)=P(A)P(C) [প্রমাণিত]

‘খ’ হতে পাই

    A={2,3} এবং C={3,5}

দেওয়া আছে,

B={x:x3 এর গুণনীয়ক এবং 0<x3}
  ={1,3}

(A×B)={2,3}×{1,3}

={2,3}×{1,3}
={(2,1),(2,3),(3,1),(3,3)}

(A×C)={2,3}×{3,5}

={2,3}×{3,5}
={(2,3),(2,5),(3,3),(3,5)}

(A×B)(A×C)={(2,1),(2,3),(3,1),(3,3)}{(2,3),(2,5),(3,3),(3,5)}

={(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5)}

আবার, BC={1,3}{3,5}

={1,3,5}

A×(BC)={2,3}×{1,3,5}

={(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5)}

সুতরাং, (A×B)(A×C)=A×(BC) [প্রমাণিত]

প্রশ্ন - ২:
f(x) এবং g(x) দুটি ফাংশন এমনভাবে বর্ণিত যে, f(x)=x36x2+11x6 এবং g(x)=x3+k2x24x8
ক. k এর কোন মানের জন্যে g(2)=8 হবে? [±2]
খ. f(x)=0 হলে, x এর মান নির্ণয় কর। [1,2,3]
গ. x এর মান A সেটের সদস্য এবং A এর উপাদান সংখ্যা n হলে, দেখাও যে, P(A) এর উপাদান সংখ্যা 2n কে সমর্থন করে।
২ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, g(x)=x3+k2x24x8
g(2)=(2)3+k2(2)24(2)8

    =8+4k2+88
    =4k28

প্রশ্নমতে, g(2)=8
 4k28=8
4k2=8+8
k2=164
k=±4
 k=±2
k এর মান ±2 হলে g(2)=8 হবে।

দেওয়া আছে, f(x)=x36x2+11x6
f(1)=136(1)2+11(1)6

=16+116
=1212
=0

অর্থাৎ (x1), f(x) এর একটি উৎপাদক।
f(x)=x36x2+11x6
=x36x2+11x6
=x3x25x2+5x+6x6
=x2(x1)5x(x1)+6(x1)
=(x1)(x25x+6)
=(x1)(x23x2x+6)
=(x1){x(x3)2(x3)}
=(x1)(x2)(x3)
প্রশ্নমতে, f(x)=0
(x1)(x2)(x3)=0
x1=0 অথবা, x2=0 অথবা, x3=0
x=1,2,3
নির্ণেয় x এর মান 1,2,3

‘খ’ হতে পাই

x এর মান 1,2,3

অর্থাৎ A={1,2,3}
P(A)={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
এখানে, A এর উপাদান সংখ্যা n=3 এবং P(A) এর উপাদান সংখ্যা 8
আবার, n=3 হওয়ায়,

2n=23=8

সুতরাং, A এর উপাদান সংখ্যা n হলে, P(A) এর উপাদান সংখ্যা 2n কে সমর্থন করে। [প্রমাণিত]

প্রশ্ন - ৩:
y=g(z)=4z72z4; যেখানে x2 এবং f(x)=3x+13x1
ক. f(1x) এবং g(12) এর মান কত? [3+x3x,95]
খ. দেখাও যে, g(y)=z এবং g(y)=g1(y)
গ. যদি f(1x)+1f(1x)1=3x+6 হয়, তবে x2+1x2 এর মান কত? [6]
৩ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, f(x)=3x+13x1
f(1x)=3(1x)+13(1x)1

=3x+13x1
=3+xx3xx
=3+xx×x3x
=3+x3x

আবার, g(z)=4z72z4 g(12)=4(12)72(12)4

=2714
=95
=95

f(1x)=3+x3x এবং g(12)=95

দেওয়া আছে, y=g(z)=4z72z4;
g(y)=4y72y4
আবার, y=4z72z4            এবং y=g(z)
 y(2z4)=(4z7)       g(z)=y
2yz4y=4z7        z=g1(y)
2yz4z=4y7
z(2y4)=4y7
z=4y72y4
z=g(y)   [মান বসিয়ে]
 g(y)=z   এবং g(y)=g1(y)   [প্রমাণিত]

‘ক’ হতে পাই

f(1x)=3+x3x

 f(1x)+1f(1x)1=3+x3x+13+x3x1

=3+x+3x3x3+x3+x3x
=63x2x3x
=63x×3x2x
=3x

প্রশ্নমতে, f(1x)+1f(1x)1=3x+6

 3x=3(x+2)
1x=(x+2)   [উভয় পাশে 3 দিয়ে ভাগ করে]
x2+2x=1
x21=2x
x1x=2   [উভয় পাশে x দিয়ে ভাগ করে]
(x1x)2=(2)2   [উভয় পাশে বর্গ করে]
(x)22.x.1x+(1x)2=4
x2+1x2=4+2
 x2+1x2=6   (উত্তর)


প্রশ্ন - ৪:
A={ }; B={xZ:x24}; C={xZ:2x5}; D={xN:x24 এবং x3<343}
ক. P(A) এবং এর প্রকৃত উপাদান সংখ্যা নির্ণয় কর। [{ };0]
খ. CD নির্ণয় করে তা সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ কর। [xN:2x5]
গ. R={(x,y):xB, yB এবং x+y=1} অন্বয়টি তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর এবং এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর। [R={(1,2),(0,1),(1,0),(2,1)} ডোম R={1,0,1,2} এবং রেঞ্জ R={1,0,1,2}
৪ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, A={ }
 P(A)={}
এখানে, P(A) এর উপাদান সংখ্যা 1 (এক)। এর প্রকৃত উপাদান সংখ্যা হবে (11)=0
সুতরাং, P(A) এর কোনো প্রকৃত উপাদান নেই।

দেওয়া আছে, C={xZ:2x5};   যেখানে, Z={...3,2,1,0,1,2,3...}
এখানে, x=2,1,0,1,2,3,4,5
 C={2,1,0,1,2,3,4,5}
এবং D={xN:x24 এবং x3<343};   যেখানে, N={1,2,3...}
এখন, x=1 হলে, x2=12=14 এবং x3=13=1<343
x=2 হলে, x2=22=44 এবং x3=23=8<343
x=3 হলে, x2=32=94 এবং x3=33=27<343
x=4 হলে, x2=42=164 এবং x3=43=64<343
x=5 হলে, x2=52=254 এবং x3=53=125<343
x=6 হলে, x2=62=364 এবং x3=63=216<343
x=7 হলে, x2=72=494 এবং x3=73=343343
এখানে, x=2,3,4,5,6
 D={2,3,4,5,6}
(CD)={2,1,0,1,2,3,4,5}{2,3,4,5,6}
    ={2,3,4,5}
    ={xN:2x5}   [সেট গাঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করে]
নির্ণেয় (CD)={xN:2x4}

দেওয়া আছে, B={xZ:x24};   যেখানে, Z={...3,2,1,0,1,2,3...}
এখন,   x=0 হলে, x2=02=14
    x=±1 হলে, x2=(±1)2=14
    x=±2 হলে, x2=(±2)2=44
    x=±3 হলে, x2=(±3)2=94
 B={2,1,0,1,2}
এবং R={(x,y):xB, yB এবং x+y=1}
এখানে, x+y=1
y=1x    
xB এর বিভিন্ন মানের জন্যে y এর সংশ্লিষ্ট মান বের করে ছক তৈরি করি
x21012
y=1x32101
কিন্তু y=3B অর্থাৎ (2,3)R
নির্ণেয় অন্বয়, R={(1,2),(0,1),(1,0),(2,1)}
ডোম R={1,0,1,2} এবং রেঞ্জ R={1,0,1,2}


প্রশ্ন - ৫:
অনুচ্ছেদ-১: f(x)=1+x2+x4x2 একটি ফাংশন। যেখানে, x0
অনুচ্ছেদ-২: U={xN:x7}; A={x:x, 3 এর গুণিতক এবং x<10};  B={xN:x মৌলিক সংখ্যা এবং x<6};  C={xN:x, 12 এর গুণনীয়ক}
ক. দেখাও যে, AcA U
খ. দেখাও যে, f(x2)=f(1x2)
গ. S={(x,y):xC, yB এবং y=2x1} হলে, s এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর। [ডোম S={2,3} এবং রেঞ্জ S={3,5}]
৫ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে,
U={xN:x7}
   ={1,2,3,4,5,6,7}
A={x:x, 3 এর গুণিতক এবং x<10}
   ={3,6,9}
Ac=U A বা, UA
={1,2,3,4,5,6,7}{3,6,9}
={1,2,4,5,6,7}
আবার,
A U=AU
={3,6,9}-\{1,2,3,4,5,6,7\}
={6,9}
সুতরাং, AcA U   [দেখনো হলো]

দেওয়া আছে, f(x)=1+x2+x4x2
 f(x2)=1+(x2)2+(x2)4(x2)2
   =1+x4+x8x4
একইভাবে,
 f(1x2)=1+(1x2)2+(1x2)4(1x2)2
    =1+1x4+1x81x4
    =x8+x4+1x81x4
    =x8+x4+1x8×x41
    =1+x4+x8x4
f(x2)=f(1x2)। [প্রমাণিত]

দেওয়া আছে,  B={xN:x মৌলিক সংখ্যা এবং x<6}; 
        ={2,3,5}
      C={xN:x, 12 এর গুণনীয়ক}
        ={1,2,3,4,6,12}
এবং S={(x,y):xC, yB এবং y=2x1}
এখানে,
y=2x1}    
xC এর বিভিন্ন মানের জন্যে y এর সংশ্লিষ্ট মান বের করে ছক তৈরি করি
x1234612
y=2x113571123
কিন্তু y=1,7,11,23B অর্থাৎ (1,1),(4,7),(6,11),(12,23)S
নির্ণেয় অন্বয়, S={(2,3),(3,5)}
ডোম S={2,3} এবং রেঞ্জ S={3,5}


প্রশ্ন - ৬:
C 6 2 4 1 3 5 8 B A 7 U
ক. উদ্দীপকটি ব্যবহার করে A(BC)=(AB)(AC) সম্পর্কটির সত্যতা যাচাই কর।
খ. S={(x,y):x(BC)c, yU এবং y=7x+1} হলে, S নির্ণয় করে দেখাও যে, S এর অনন্য উপাদানটির মান ‍(1, 8)
গ. (2x+3y, 3x2y)=S এর অনন্য উপাদান হলে, (x, y) এর মান নির্ণয় কর। [(2, 1)]
৬ নং প্রশ্নের সমাধান
উদ্দীপকের লেখচিত্র অনুযায়ী, A={1,2,3,4}
      B={2,3,5,7}
      C={3,4,5,6}
      BC={3,5}
      AB={1,2,3,4,5,7}
      AC={1,2,3,4,5,6}
(A(BC)={1,2,3,4,5}
আাবার,
(AB)(AC)={1,2,3,4,5}
অতএব,A(BC)=(AB)(AC)।   [প্রমাণিত]

উদ্দীপকের লেখচিত্র অনুযায়ী, U={1,2,3,4,5,6,7,8}
      (BC)={2,3,4,5,6,7}
      (BC)c=U(BC)
          ={1,2,3,4,5,6,7,8}{2,3,4,5,6,7}
          ={1,8}
এবং S={(x,y):x(BC)c, yU এবং y=7x+1}
এখানে,
y=7x+1}    
x(BC)c এর বিভিন্ন মানের জন্যে y এর সংশ্লিষ্ট মান বের করে ছক তৈরি করি
x18
y=7x+1857
কিন্তু y=57U অর্থাৎ (8,57)S
নির্ণেয় অন্বয়, S={(1,8)}
অতএব, S এর অনন্য উপাদানটি (1,8)।   [দেখানো হলো]

‘খ’ হতে পাই

S এর অনন্য উপাদানটি (1,8)

প্রশ্নমতে, (2x+3y, 3x2y)=(1,8)
কার্তেসীয় গুণজ এর নিয়ম অনুসারে,

2x+3y=1         ①
3x2y=8         ②

① সমীকরণকে 2 ও ② সমীকরণকে 3 দিয়ে গুণ করে যোগ করি।
4x+6y=2
9x6y=24
   13x=26
x=2613
 x=2
x এর মান ① সমীকরণে বসিয়ে পাই

   2.2+3y=1
3y=14
y=33
 y=1

নির্ণেয় সমাধান: (x,y)=(2,1)।   (উত্তর)

মন্তব্যসমূহ

Popular Posts

Give me a title

ভার্নিয়ার স্কেলের 50 ঘর সমান প্রধান স্কেলের 49 ঘর। প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম 1 ঘর =1 mm হলে, ভার্নিয়ার ধ্রুবক কত? সমাধান: দেওয়া আছে, প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম 1 ঘর =1 mm এবং প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম 50 ঘর ভার্নিয়ার স্কেলের 40 ঘর বা 1 mm ∴ প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম 1 ঘর ভার্নিয়ার স্কেলের 4050 mm আমরা জানি, প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম ১ ভাগের চেয়ে ভার্নিয়ার স্কেলের ১ ভাগ যত ছোট তার পরিমাণকে ভার্নিয়ার ধ্রুবক বলে। অর্থাৎ, ভার্নিয়ার ধ্রুবক = (মূল স্কেলের ক্ষুদ্রতম ১ ঘরের মান ভার্নিয়ার স্কেলের ক্ষুদ্রতম ১ ঘরের মান)       =(14950)=(504950)=0.02 mm একটি স্লাইড ক্যালিপার্সের ভার্নিয়ার স্কেলের ভাগ সংখ্যা 20 । প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম...

hua

lakalksdjfjdkfjllkjdsjdfk dksdjfjlkfk sddkjdfjfklk ldsdksjdff

post -10

Obfuscation (software) From Wikipedia, the free encyclopedia Jump to navigationJump to search For the term as used in natural language, see obfuscation. In software development, obfuscation is the deliberate act of creating source or machine code that is difficult for humans to understand. Like obfuscation in natural language, it may use needlessly roundabout expressions to compose statements. Programmers may deliberately obfuscate code to conceal its purpose (security through obscurity) or its logic or implicit values embedded in it, primarily, in order to prevent tampering, deter reverse engineering, or even to create a puzzle or recreational challenge for someone reading the source code. This can be done manually or by using an automated tool, the latter being the preferred technique in industry.[1] Contents 1 Overview 2 Recreational obfuscation 2.1 Examples 3 Advantages of obfuscation 3.1 Faster loading time 3.2 Reduced memory usage 3.3 Protection for trade secrets 3.4 Preventio...

সত্য ও সুন্দর

ভাব ও ভাষা

আমরা ও আমাদের চারপাশ

শৃঙ্খলা ও স্বাস্থবিধি

বিজ্ঞান জগৎ