মনেকরি, 31 এর চেয়ে বড় 315 এর গুণনীয়কের সেট A এবং 31 এর চেয়ে বড় 525 এর গুণনীয়কের সেট B
=5×63
=7×45
=9×35
=15×21
=5×105
=7×75
=15×35
=21×25
এবং B={35,75,105,175,525}
∴ নির্ণেয় সেট (A∩B)={35,105}.
A={x:x∈N এবং x2−5x+6=0};
⇒x2−3x−2x+6=0
⇒x(x−3)−2(x−3)=0
⇒(x−3)(x−2)=0
⇒(x−3)=0 অথবা, (x−2)=0
⇒x=3 অথবা, x=2
⇒x=2,3
∴P(A)={∅,{2},{3},{2,3}}
এবং C={x:x মৌলিক সংখ্যা ও 2<x≤5}
={3,5}
∴P(A)∩P(C)={∅,{3},{5},{3,5}}∩{∅,{3},{5},{3,5}}
={∅,{3}}
A∩C={2,3}∩{3,5}
={3}
সুতরাং, P(A∩C)=P(A)∩P(C) [প্রমাণিত]
A={2,3} এবং C={3,5}
দেওয়া আছে,
B={x:x∈3 এর গুণনীয়ক এবং 0<x≤3}
={1,3}
={2,3}×{1,3}
={(2,1),(2,3),(3,1),(3,3)}
={2,3}×{3,5}
={(2,3),(2,5),(3,3),(3,5)}
={(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5)}
={1,3,5}
={(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5)}
সুতরাং, (A×B)∪(A×C)=A×(B∪C) [প্রমাণিত]∴g(−2)=(−2)3+k2(−2)2−4(−2)−8
=−8+4k2+8−8
=4k2−8
⇒4k2=8+8
⇒k2=164
⇒k=±√4
∴ k=±2
∴f(1)=13−6(1)2+11(1)−6
=1−6+11−6
=12−12
=0
∴f(x)=x3−6x2+11x−6
=x3−x2−5x2+5x+6x−6
=x2(x−1)−5x(x−1)+6(x−1)
=(x−1)(x2−5x+6)
=(x−1)(x2−3x−2x+6)
=(x−1){x(x−3)−2(x−3)}
=(x−1)(x−2)(x−3)
⇒x−1=0 অথবা, x−2=0 অথবা, x−3=0
∴x=1,2,3
x এর মান 1,2,3
অর্থাৎ A={1,2,3}∴P(A)={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
এখানে, A এর উপাদান সংখ্যা n=3 এবং P(A) এর উপাদান সংখ্যা 8।
আবার, n=3 হওয়ায়,
2n=23=8
সুতরাং, A এর উপাদান সংখ্যা n হলে, P(A) এর উপাদান সংখ্যা 2n কে সমর্থন করে। [প্রমাণিত]∴f(1x)=3(1x)+13(1x)−1
=3x+13x−1
=3+xx3−xx
=3+xx×x3−x
=3+x3−x
=−2−7−1−4
=−9−5
=95
⇒2yz−4y=4z−7 ∴ z=g−1(y)
⇒2yz−4z=4y−7
⇒z(2y−4)=4y−7
⇒z=4y−72y−4
⇒z=g(y) [মান বসিয়ে]
∴ g(y)=z এবং g(y)=g−1(y) [প্রমাণিত]
f(1x)=3+x3−x
=3+x+3−x3−x3+x−3+x3−x
=63−x2x3−x
=63−x×3−x2x
=3x
∴ 3x=3(x+2)
⇒1x=(x+2) [উভয় পাশে 3 দিয়ে ভাগ করে]
⇒x2+2x=1
⇒x2−1=2x
⇒x−1x=2 [উভয় পাশে x দিয়ে ভাগ করে]
⇒(x−1x)2=(2)2 [উভয় পাশে বর্গ করে]
⇒(x)2−2.x.1x+(1x)2=4
⇒x2+1x2=4+2
∴ x2+1x2=6 (উত্তর)
সুতরাং, P(A) এর কোনো প্রকৃত উপাদান নেই।
এখানে, x=−2,−1,0,1,2,3,4,5
এখন, x=1 হলে, x2=12=1≱4 এবং x3=13=1<343
x=3 হলে, x2=32=9≥4 এবং x3=33=27<343
x=4 হলে, x2=42=16≥4 এবং x3=43=64<343
x=5 হলে, x2=52=25≥4 এবং x3=53=125<343
x=6 হলে, x2=62=36≥4 এবং x3=63=216<343
x=7 হলে, x2=72=49≥4 এবং x3=73=343≮343
∴ D={2,3,4,5,6}
∴(C∩D)={−2,−1,0,1,2,3,4,5}∩{2,3,4,5,6}
={x∈N:2≤x≤5} [সেট গাঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করে]
এখন, x=0 হলে, x2=02=1≤4
x=±2 হলে, x2=(±2)2=4≤4
x=±3 হলে, x2=(±3)2=9≰4
∴ B={−2,−1,0,1,2}
এখানে, x+y=1
x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
y=1−x | 3 | 2 | 1 | 0 | −1 |
∴ ডোম R={−1,0,1,2} এবং রেঞ্জ R={−1,0,1,2}
অনুচ্ছেদ-২: U={x∈N:x≤7}; A={x:x, 3 এর গুণিতক এবং x<10}; B={x∈N:x মৌলিক সংখ্যা এবং x<6}; C={x∈N:x, 12 এর গুণনীয়ক}
={1,2,3,4,5,6,7}
A={x:x, 3 এর গুণিতক এবং x<10}
={3,6,9}
={1,2,4,5,6,7}
A ∖U=A−U
={6,9}
∴ f(x2)=1+(x2)2+(x2)4(x2)2
∴ f(1x2)=1+(1x2)2+(1x2)4(1x2)2
=x8+x4+1x81x4
=x8+x4+1x8×x41
=1+x4+x8x4
={2,3,5}
C={x∈N:x, 12 এর গুণনীয়ক}
={1,2,3,4,6,12}
এবং S={(x,y):x∈C, y∈B এবং y=2x−1}
এখানে,
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 |
y=2x−1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 11 | 23 |
∴ ডোম S={2,3} এবং রেঞ্জ S={3,5}
B={2,3,5,7}
C={3,4,5,6}
B∩C={3,5}
A∪B={1,2,3,4,5,7}
A∪C={1,2,3,4,5,6}
∴(A∪(B∩C)={1,2,3,4,5}
আাবার,
∴(A∪B)∩(A∪C)={1,2,3,4,5}
অতএব,A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)। [প্রমাণিত]
(B∪C)={2,3,4,5,6,7}
∴(B∩C)c=U−(B∩C)
={1,2,3,4,5,6,7,8}−{2,3,4,5,6,7}
={1,8}
এবং S={(x,y):x∈(B∪C)c, y∈U এবং y=7x+1}
এখানে,
x | 1 | 8 |
y=7x+1 | 8 | 57 |
অতএব, S এর অনন্য উপাদানটি (1,8)। [দেখানো হলো]
S এর অনন্য উপাদানটি (1,8)।
কার্তেসীয় গুণজ এর নিয়ম অনুসারে,
2x+3y=1 ⋯ ⋯ ⋯ ①
3x−2y=8 ⋯ ⋯ ⋯ ②
4x+6y=2 |
9x−6y=24 |
13x=26 ⇒x=2613 ∴ x=2 |
2.2+3y=1
⇒3y=1−4
⇒y=−33
∴ y=−1
মন্তব্যসমূহ
একটি মন্তব্য পোস্ট করুন