সরাসরি প্রধান সামগ্রীতে চলে যান

Math Resolution For SSC Chapter-1

১ম অধ্যায়: বাস্তব সংখ্যা
প্রশ্ন - ১:
\(2p, (2p+1), (2p+2), (2p+3)\) চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা।
ক. স্বাভাবিক সংখ্যা ও পূর্ণসংখ্যা কাকে বলে? -উদাহরণসহ লিখ।
খ. দেখাও যে, এই চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে \(1\) যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে। [Hint: TB-5 Ex-2]
গ. দেখাও যে, প্রথম দু’টি জোড় সংখ্যার গুণফল \(8\) দ্বারা বিভাজ্য হবে।
১ নং প্রশ্নের সমাধান

স্বাভাবিক সংখ্যা: \(1,\ 2,\ 3,\ 4\ ...\) ইত্যাদি সকল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে। স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{N}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ \(\mathbb{N}=\{1,\ 2,\ 3,\ 4\ ...\}\)

পূর্ণসংখ্যা: শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে পূর্ণসংখ্যা বলে। যেমন- \(... -3, -2, -1, 0,\ 1,\ 2,\ 3\ ...\) ইত্যাদি পূর্ণসংখ্যা। পূর্ণসংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Z}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ \(\mathbb{Z}=\{... -3, -2, -1, 0,\ 1,\ 2,\ 3\ ...\}\)


প্রদত্ত চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে \(1\) যোগ করে পাই,

\(\ \ \ \ 2p\times(2p+1)\times(2p+2)\times(2p+3)+1\)
\(=2p(2p+1)(2p+2)(2p+3)+1\)
\(=2p(2p+3)(2p+1)(2p+2)+1\)
\(=(4p^2+6p)(4p^2+4p+2p+2)+1\)
\(=(4p^2+6p)(4p^2+6p+2)+1\)

ধরি, \(4p^2+6p=a\)

\(=a(a+2)+1\)
\(=a^2+2.a.1+1^2\)
\(=(a+1)^2\)
\(=(4p^2+6p+1)^2\); যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

সুতরাং, চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে \(1\) যোগ করলে তা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

যেকোনো সংখ্যাকে যেকোনো জোড় সংখ্যা দিয়ে গুণ করা হলে গুণফলটি জোড় সংখ্যা হয়। তাই প্রদত্ত চারটি সংখ্যা \(2p,(2p+1),(2p+2),(2p+3)\) এর মধ্যে \(2p\) সংখ্যাটিতে জোড় সংখ্যা \(2\) গুণ থাকায় \(2p\) সংখ্যাটি জোড় সংখ্যা হবে। আবার, জোড় সংখ্যার সাথে জোড় সংখ্যা যোগ বা বিয়োগ করা হলে তা একটি জোড় সংখ্যা হয়। তাই \((2p+2)\) সংখ্যাটিও জোড় সংখ্যা হবে। অর্থাৎ প্রদত্ত চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে ১ম দুটি জোড় সংখ্যা হলো \(2p\) ও \((2p+2)\)।
সংখ্যা দুটির গুণফল হবে \(-\)

\(\ \ \ \ 2p(2p+2)\)
\(=2p.2(p+1)\)
\(=4p(p+1)\)

এখানে, \(p\) ও \((p+1)\) দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা। অর্থাৎ সংখ্যা দুটির মধ্যে যেকোনো একটি অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে। যেহেতু কোনো সংখ্যাকে জোড় সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে তা জোড় সংখ্যা হয়, তাই \(p(p+1)\) এর গুণফলও জোড় সংখ্যা হবে এবং তা \(2\) দ্বারা বিভাজ্য হবে।
সুতরাং \(4p(p+1)\) সংখ্যাটি \(4\times2=8\) দ্বারা বিভাজ্য হবে।

প্রশ্ন - ২:
\(a=\sqrt6, b=\sqrt4, r=4.8\dot{9}, s=\sqrt7, t=\sqrt9\) পাঁচটি বাস্তব সংখ্যা।
ক. উদ্দীপকের সংখ্যাগুলোর মধ্যে কোনটি মূলদ কোনটি অমূলদ নির্ণয় কর।
খ. \(\dfrac{s+a}{s-a}\) এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর। \([25.9615]\)
গ. প্রমাণ কর যে, \(\dfrac{t}{b}\) একটি মূলদ সংখ্যা কিন্তু \(a\) অমূলদ সংখ্যা।
২ নং প্রশ্নের সমাধান
যে সকল বাস্তব সংখ্যাকে \(\dfrac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় তাদেরকে মূলদ সংখ্যা বলে। সাধারণত সকল স্বাভাবিক সংখ্যা, সকল পূর্ণ সংখ্যা, সকল সাধারণ ভগ্নাংশ সংখ্যা এবং সকল সসীম দশমিক সংখ্যা বা পৌনঃপুনিকযুক্ত সংখ্যাকে \(\dfrac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায়; তাই এগুলো মূলদ সংখ্যা হয়।
এখানে,

\(a=\sqrt6=2.4494897...\) যা একটি অসীম দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যা এবং \(\dfrac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় না;
\(b=\sqrt4=2\ (\) মূলত \(\dfrac{2}{1})\) যা একটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং \(\dfrac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায়;
\(r=4.8\dot{9}=\dfrac{489-48}{90}=\dfrac{441}{90}\) যা একটি সাধারণ ভগ্নাংশ সংখ্যা এবং \(\dfrac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায়;
\(s=\sqrt7=2.645751...\) যা একটি অসীম দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যা এবং \(\dfrac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় না;
\(t=\sqrt9=3\ (\) মূলত \(\dfrac{2}{1})\) যা একটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং \(\dfrac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায়;

সুতরাং \(b,\ r,\ t\) মূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ \(\mathbb{Q}=\{b,\ r,\ t\}\) এবং ‍\(a,\ s\) অমূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ \(\acute{\mathbb{Q}}=\{a,\ s\}\)।

দেওয়া আছে,

\(a=\sqrt6\) এবং \(s=\sqrt7\)

প্রদত্তরাশি\(=\dfrac{s+a}{s-a}\)

\(=\dfrac{\sqrt7+\sqrt6}{\sqrt7-\sqrt6}\)
\(=\dfrac{(\sqrt7+\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6)}{(\sqrt7-\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6)}\)   [লব ও হরকে \((\sqrt7+\sqrt6)\) দ্বারা গুণ করে]
\(=\dfrac{(\sqrt7+\sqrt6)^2}{(\sqrt7)^2-(\sqrt6)^2}\)
\(=\dfrac{(\sqrt7)^2+2\sqrt7.\sqrt6+(\sqrt6)^2}{7-6}\)
\(=7+2\sqrt42+6\)
\(=13+2\sqrt42\)
\(=25.961481...\)
\(=25.9615\) (প্রায়)   [চার দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নিয়ে]


দেওয়া আছে,

\(a=\sqrt6\); \(b=\sqrt4\) এবং \(t=\sqrt9\)

\(\therefore \dfrac{t}{b}=\dfrac{\sqrt9}{\sqrt4}\)

\(=\dfrac{3}{2}\) যা একটি সাধারণ ভগ্নাংশ সংখ্যা এবং \(\dfrac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায়;

অর্থাৎ \(\dfrac{t}{b}\) একটি মূলদ সংখ্যা।
এখন, \(4\lt6\lt9\)

\(\Rightarrow \sqrt4\lt\sqrt6\lt\sqrt9\)
\(\Rightarrow 2\lt\sqrt6\lt3\)

\(\therefore\ a=\sqrt6\) এর মান \(4\) এর চেয়ে বড় এবং \(9\) এর চেয়ে ছোট।
\(\therefore\ \sqrt6\) পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। তবে মূলদ অথবা অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।
যদি \(\sqrt6\) একটি মূলদ সংখ্যা হয়, তবে \(-\)
মনেকরি,\(\sqrt6=\dfrac{p}{q}\);   যেখানে, \(p\) ও \(q\) স্বাভাবিক সহমৌলিক সংখ্যা এবং \(q\gt1\)

\(\Rightarrow (\sqrt6)^2=(\dfrac{p}{q})^2\)   [উভয় পক্ষে বর্গ করে]
\(\Rightarrow 6=\dfrac{p^2}{q^2}\)
\(\Rightarrow 6q=\dfrac{p^2}{q}\)   [উভয় পক্ষে \(q\) দ্বারা গুণ করে]

উপরের সমীকরণটির বামপক্ষে \(6q\) একটি পূর্ণসংখ্যা কিন্তু ডানপক্ষে \(\dfrac{p^2}{q}\) পূর্ণ সংখ্যা নয়। তাই \(6q\) এবং \(\dfrac{p^2}{q}\) সমান হতে পারে না। অর্থাৎ \(6q\ne\dfrac{p^2}{q}\)
\(\therefore\ \sqrt6\) এর মান \(\dfrac{p}{q}\) আকারের কোনো সংখ্যা হতে পরে না। অর্থাৎ \(\sqrt6\) মূলদ সংখ্যা নয়।
অতএব \(\sqrt6\) একটি অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন - ৩:
\(\sqrt{29}\) ও \(5\) দুইটি বাস্তব সংখ্যা এবং \(m\) একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা।
ক. \(\sqrt{645}\) এর মান দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর। \([25.40]\)
খ. 5 ও \(\sqrt{29}\) এর মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা \(x\) ও দুটি অমূলদ সংখ্যা \(y, z\) লিখ। \([5.385 > \) উত্তর \(>5]\)
গ. দেখাও যে, \(m^2\) একটি স্বাভাবিক ও বিজোড় সংখ্যা এবং \(m^2\) কে \(4\) দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে \(1\) অবশিষ্ট থাকে।
৩ নং প্রশ্নের সমাধান
\(\sqrt{645}\) এর মান নির্ণয় (ভাগ পদ্ধতি):
\(2\) \(5\) \(.\) \(3\) \(9\) \(6\) \(\ ...\)
\(6\) \(\ 45\) \(.\) \(\ 00\) \(\ 00\) \(\ 00\) \(...\)
\(-4\)
\(45)\) \(2\) \(45\)
\(-2\) \(25\)
\(503)\) \(20\) \(00\)
\(-15\) \(09\)
\(5069)\) \(4\) \(91\) \(00\)
\(-4\) \(56\) \(21\)
\(5078)\) \(34\) \(79\) \(00\)
\(-30\) \(47\) \(16\)
\(50792\_)\) \(4\) \(31\) \(84\) \(00\)
\(\therefore \sqrt{645}=25.396 ... \approx 25.40 \)
অতএব \(\sqrt{645}\) এর মান \(25.40\) (প্রায়)।

এখানে, \(\sqrt{29}=5.385...\) অর্থাৎ \(5\) এর চেয়ে বড় কিন্তু \(5.385...\) এর চেয়ে ছোট একটি মূলদ সংখ্যা \(x\) ও দুটি অমূলদ সংখ্যা \(y, z\) লিখতে হবে।

\(x = 5.2=\dfrac{52}{10}=\dfrac{26}{5}\)

যেখানে \(5 \lt x \lt \sqrt{29}\) এবং যা \(\dfrac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায়। অর্থাৎ মূলদ সংখ্যা।
আবার,

\(y = \dfrac{5+\sqrt{29}}{2}=5.19258...\) এবং মূলদ সংখ্যা।
\(z = \dfrac{5+\sqrt{29}+\sqrt{29}}{3}=5.25677...\) এবং মূলদ সংখ্যা।

সুতরাং, \(5\) এর চেয়ে বড় কিন্তু \(\sqrt{29}\) এর চেয়ে ছোট একটি মূলদ সংখ্যা \(x\ = \ 5.2\) ও দুটি অমূলদ সংখ্যা \(y=5.19258..., z=5.25677...\)।
বিকল্প,
এখানে,

\(\ \ \ \sqrt{25} \lt \sqrt{x},\ \sqrt{y},\ \sqrt{z} \lt \sqrt{29}\)
\(=(\sqrt{25})^2 \lt (\sqrt{x})^2,\ (\sqrt{y})^2,\ (\sqrt{z})^2 \lt (\sqrt{29})^2\)
\(=5 \lt x,\ y,\ z \lt 5.385...\)

অর্থাৎ \(5\) এর চেয়ে বড় কিন্তু \(5.385...\) এর চেয়ে ছোট একটি মূলদ সংখ্যা \(x\) ও দুটি অমূলদ সংখ্যা \(y, z\) লিখতে হবে।

\(x = 5.2=\dfrac{52}{10}=\dfrac{26}{5}\)

যেখানে \(5\lt x \lt \sqrt{29}\) এবং যা \(\dfrac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায়। অর্থাৎ মূলদ সংখ্যা।
আবার,

\(y = \sqrt{27}=5.19615...\) যেখানে \(\sqrt{25}\) বা \(5 \lt \sqrt{y} \lt \sqrt{29}\) এবং মূলদ সংখ্যা।
\(z = \sqrt{28}=5.2915...\) যেখানে \(\sqrt{25}\) বা \(5 \lt \sqrt{z} \lt \sqrt{29}\) এবং মূলদ সংখ্যা।

সুতরাং, \(5\) এর চেয়ে বড় কিন্তু \(\sqrt{29}\) এর চেয়ে ছোট একটি মূলদ সংখ্যা \(x\ = \ 5.2\) ও দুটি অমূলদ সংখ্যা \(y=\sqrt{27}, z=\sqrt{28}\)।

মনেকরি,

\(m = (2n+1)\);   যেখানে, \(n\in\mathbb{N}\)   [\(\because m\) বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা ]
\(m^2 = (2n+1)^2\)
\(\ \ \ =(2n)^2+2.2n.1+(1)^1\)
\(\ \ \ =(4n^2+4n+1\)
\(\ \ \ =4n(n+1)+1\)

এখানে, \(n(n+1)\) দুটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল। তাই সংখ্যা দুটির মধ্যে একটি অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে। অর্থাৎ \(4n(n+1)\) সংখ্যাটিও জোড় সংখ্যা এবং তার সাথে \(1\) যোগ করা হলে \(4n(n+1)+1\) তা বিজোড় সংখ্যা হবে।
\(\therefore m\) একটি বিজোড় সংখ্যা হলে তার বর্গ \(m^2\) অবশ্যই একটি বিজোড় সংখ্যা হবে।
আবার, \(4n(n+1)+1\) বিজোড় সংখ্যাটির \(4n(n+1)\) অংশ জোড় সংখ্যা এবং \(4\times2=8\) দ্বারা বিভাজ্য হলে তা \(4\) দ্বারাও বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ \(4n(n+1)+1\) সংখ্যাটিকে \(4\) দ্বারা ভাগ করা হলে \(n\in\mathbb{N}\) এর জন্যে প্রতিক্ষেত্রে \(1\) অবশিষ্ট থাকে।
\(\therefore m\) একটি বিজোড় সংখ্যা হলে তার বর্গ \(m^2\) অবশ্যই একটি বিজোড় সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন - ৪:
\(x=4.\dot{8}\dot{9},\ \ y=\ 3.1\dot{7}\dot{8},\ z=6.89\dot{7}9\dot{8},\ p=9.45,\ q=2.8\dot{6}\dot{3}\) কয়েকটি বাস্তব সংখ্যা।
ক. \(y\) ও \(z\) কে স্বাভাবিক ভগ্নাংশ সংখ্যায় প্রকাশ কর। \([\dfrac{1049}{330},\dfrac{689109}{99900}]\)
খ. \(x+y+z\) ও \(p-q\) নির্ণয় কর। \([14.97\dot{5}7\dot{6},\ 6.58\dot{6}\dot{3}]\)
গ. সরল কর: \(\left(0.\dot{3}\times0.8\dot{3}\right)\div\left(0.5\times0.\dot{1}\right)+0.3\dot{5}\div0.0\dot{8}\) \([9] \)
৪ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে,

\(y=3.1\dot{7}\dot{8}=\dfrac{3178-31}{990}=\dfrac{3147}{990}=\dfrac{1049}{330}\)
\(z=6.89\dot{7}9\dot{8}=\dfrac{689798-689}{9990}=\dfrac{689109}{990}=\dfrac{229703}{3330}\)

ইহাই \(y\) ও \(z\) এর নির্ণেয় সাধারণ ভগ্নাংশ।

দেওয়া আছে,

\(x=4.\dot{8}\dot{9},\ \ y=\ 3.1\dot{7}\dot{8},\ z=6.89\dot{7}9\dot{8},\ p=9.45,\ q=2.8\dot{6}\dot{3}\)

\(x, y\) ও \(z\) যোগ করে পাই \(-\)
\(x=4.\dot{8}\dot{9}=4.89\dot{8}9898\dot{9}\) \(89...\)
\(y=3.1\dot{7}\dot{8}=3.17\dot{8}7878\dot{7}\) \(87...\)
\(z=6.89\dot{7}9\dot{8}=6.89\dot{7}9879\dot{8}\) \(79...\)
\((x+y+z)=14.97\dot{5}7657\dot{6}\) \(55...\)
\(p\) থেকে \(q\) বিয়োগ করে পাই \(-\)
\(p=9.45=9.45\dot{0}\dot{0}\) \(00...\)
\(q=2.8\dot{6}\dot{3}=2.86\dot{3}\dot{6}\) \(36...\)
\((p-q)=6.58\dot{6}\dot{3}\) \(64...\)
\(\therefore \) নির্ণেয় \((x+y+z)=14.97\dot{5}7657\dot{6} = 14.97\dot{5}7\dot{6}\) এবং \((p-q)=6.58\dot{6}\dot{3}\)।

প্রদত্ত রাশিমালা \(=\left(0.\dot{3}\times0.8\dot{3}\right)\div\left(0.5\times0.\dot{1}\right)+0.3\dot{5}\div0.0\dot{8}\)

\(=\left(\dfrac{3-0}{9}\times\dfrac{83-8}{90}\right)\div\left(\dfrac{5}{10}\times\dfrac{1-0}{9}\right)+\dfrac{35-3}{90}\div\dfrac{8-0}{90}\)
\(=\left(\dfrac{3}{9}\times\dfrac{75}{90}\right)\div\left(\dfrac{5}{10}\times\dfrac{1}{9}\right)+\dfrac{32}{90}\div\dfrac{8}{90}\)
\(=\dfrac{5}{18}\div\dfrac{1}{18}+\dfrac{32}{90}\div\dfrac{8}{90}\)
\(=\dfrac{5}{18}\times\dfrac{18}{1}+\dfrac{32}{90}\times\dfrac{90}{8}\)
\(=5+4\)
\(=9\)

\(\therefore \) নির্ণেয় সরলমান \(9\).

মন্তব্যসমূহ

Popular Posts

Give me a title

ভার্নিয়ার স্কেলের \(50\) ঘর সমান প্রধান স্কেলের \(49\) ঘর। প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম \(1\) ঘর \(= 1\ mm\) হলে, ভার্নিয়ার ধ্রুবক কত? সমাধান: দেওয়া আছে, প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম \(1\) ঘর \(= 1\ mm\) এবং প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম \(50\) ঘর ভার্নিয়ার স্কেলের \(40\) ঘর বা \(1\ mm\) ∴ প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম \(1\) ঘর ভার্নিয়ার স্কেলের \(\dfrac{40}{50}\ mm\) আমরা জানি, প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম ১ ভাগের চেয়ে ভার্নিয়ার স্কেলের ১ ভাগ যত ছোট তার পরিমাণকে ভার্নিয়ার ধ্রুবক বলে। অর্থাৎ, ভার্নিয়ার ধ্রুবক \(=\) \((\)মূল স্কেলের ক্ষুদ্রতম ১ ঘরের মান \(-\) ভার্নিয়ার স্কেলের ক্ষুদ্রতম ১ ঘরের মান\()\)       \(\begin{aligned}[t] &= \left(1-\dfrac{49}{50}\right)\\ &= \left(\dfrac{50-49}{50}\right)\\ &= 0.02\ mm\end{aligned}\) একটি স্লাইড ক্যালিপার্সের ভার্নিয়ার স্কেলের ভাগ সংখ্যা \(20\) । প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম ভাগের মান \(1\ m

hua

lakalksdjfjdkfjllkjdsjdfk dksdjfjlkfk sddkjdfjfklk ldsdksjdff

post -10

Obfuscation (software) From Wikipedia, the free encyclopedia Jump to navigationJump to search For the term as used in natural language, see obfuscation. In software development, obfuscation is the deliberate act of creating source or machine code that is difficult for humans to understand. Like obfuscation in natural language, it may use needlessly roundabout expressions to compose statements. Programmers may deliberately obfuscate code to conceal its purpose (security through obscurity) or its logic or implicit values embedded in it, primarily, in order to prevent tampering, deter reverse engineering, or even to create a puzzle or recreational challenge for someone reading the source code. This can be done manually or by using an automated tool, the latter being the preferred technique in industry.[1] Contents 1 Overview 2 Recreational obfuscation 2.1 Examples 3 Advantages of obfuscation 3.1 Faster loading time 3.2 Reduced memory usage 3.3 Protection for trade secrets 3.4 Preventio

সত্য ও সুন্দর

ভাব ও ভাষা

আমরা ও আমাদের চারপাশ

শৃঙ্খলা ও স্বাস্থবিধি

বিজ্ঞান জগৎ