Math Resolution For SSC Chapter-1

১ম অধ্যায়: বাস্তব সংখ্যা

প্রশ্ন - ১:

$2p, (2p+1), (2p+2), (2p+3)$ চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা।

ক. স্বাভাবিক সংখ্যা ও পূর্ণসংখ্যা কাকে বলে? -উদাহরণসহ লিখ।

খ. দেখাও যে, এই চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে $1$ যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে। [Hint: TB-5 Ex-2]

গ. দেখাও যে, প্রথম দু’টি জোড় সংখ্যার গুণফল $8$ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

১ নং প্রশ্নের সমাধান

ক

স্বাভাবিক সংখ্যা: $1,\ 2,\ 3,\ 4\ ...$ ইত্যাদি সকল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে। স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে $\mathbb{N}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ $\mathbb{N}=\{1,\ 2,\ 3,\ 4\ ...\}$

পূর্ণসংখ্যা: শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে পূর্ণসংখ্যা বলে। যেমন- $... -3, -2, -1, 0,\ 1,\ 2,\ 3\ ...$ ইত্যাদি পূর্ণসংখ্যা। পূর্ণসংখ্যার সেটকে $\mathbb{Z}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ $\mathbb{Z}=\{... -3, -2, -1, 0,\ 1,\ 2,\ 3\ ...\}$

খ

প্রদত্ত চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে $1$ যোগ করে পাই,

$\ \ \ \ 2p\times(2p+1)\times(2p+2)\times(2p+3)+1$
$=2p(2p+1)(2p+2)(2p+3)+1$
$=2p(2p+3)(2p+1)(2p+2)+1$
$=(4p^2+6p)(4p^2+4p+2p+2)+1$
$=(4p^2+6p)(4p^2+6p+2)+1$

ধরি, $4p^2+6p=a$

$=a(a+2)+1$
$=a^2+2.a.1+1^2$
$=(a+1)^2$
$=(4p^2+6p+1)^2$; যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

সুতরাং, চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে $1$ যোগ করলে তা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

গ

যেকোনো সংখ্যাকে যেকোনো জোড় সংখ্যা দিয়ে গুণ করা হলে গুণফলটি জোড় সংখ্যা হয়। তাই প্রদত্ত চারটি সংখ্যা $2p,(2p+1),(2p+2),(2p+3)$ এর মধ্যে $2p$ সংখ্যাটিতে জোড় সংখ্যা $2$ গুণ থাকায় $2p$ সংখ্যাটি জোড় সংখ্যা হবে। আবার, জোড় সংখ্যার সাথে জোড় সংখ্যা যোগ বা বিয়োগ করা হলে তা একটি জোড় সংখ্যা হয়। তাই $(2p+2)$ সংখ্যাটিও জোড় সংখ্যা হবে। অর্থাৎ প্রদত্ত চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে ১ম দুটি জোড় সংখ্যা হলো $2p$ ও $(2p+2)$।
সংখ্যা দুটির গুণফল হবে $-$

$\ \ \ \ 2p(2p+2)$
$=2p.2(p+1)$
$=4p(p+1)$

এখানে, $p$ ও $(p+1)$ দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা। অর্থাৎ সংখ্যা দুটির মধ্যে যেকোনো একটি অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে। যেহেতু কোনো সংখ্যাকে জোড় সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে তা জোড় সংখ্যা হয়, তাই $p(p+1)$ এর গুণফলও জোড় সংখ্যা হবে এবং তা $2$ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
সুতরাং $4p(p+1)$ সংখ্যাটি $4\times2=8$ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

প্রশ্ন - ২:

$a=\sqrt6, b=\sqrt4, r=4.8\dot{9}, s=\sqrt7, t=\sqrt9$ পাঁচটি বাস্তব সংখ্যা।

ক. উদ্দীপকের সংখ্যাগুলোর মধ্যে কোনটি মূলদ কোনটি অমূলদ নির্ণয় কর।

খ. $\dfrac{s+a}{s-a}$ এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর। $[25.9615]$

গ. প্রমাণ কর যে, $\dfrac{t}{b}$ একটি মূলদ সংখ্যা কিন্তু $a$ অমূলদ সংখ্যা।

২ নং প্রশ্নের সমাধান

ক

যে সকল বাস্তব সংখ্যাকে $\dfrac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায় তাদেরকে মূলদ সংখ্যা বলে। সাধারণত সকল স্বাভাবিক সংখ্যা, সকল পূর্ণ সংখ্যা, সকল সাধারণ ভগ্নাংশ সংখ্যা এবং সকল সসীম দশমিক সংখ্যা বা পৌনঃপুনিকযুক্ত সংখ্যাকে $\dfrac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়; তাই এগুলো মূলদ সংখ্যা হয়।
এখানে,

$a=\sqrt6=2.4494897...$ যা একটি অসীম দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যা এবং $\dfrac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায় না;
$b=\sqrt4=2\ ($ মূলত $\dfrac{2}{1})$ যা একটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং $\dfrac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়;
$r=4.8\dot{9}=\dfrac{489-48}{90}=\dfrac{441}{90}$ যা একটি সাধারণ ভগ্নাংশ সংখ্যা এবং $\dfrac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়;
$s=\sqrt7=2.645751...$ যা একটি অসীম দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যা এবং $\dfrac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায় না;
$t=\sqrt9=3\ ($ মূলত $\dfrac{2}{1})$ যা একটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং $\dfrac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়;

সুতরাং $b,\ r,\ t$ মূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ $\mathbb{Q}=\{b,\ r,\ t\}$ এবং ‍$a,\ s$ অমূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ $\acute{\mathbb{Q}}=\{a,\ s\}$।

খ

দেওয়া আছে,

$a=\sqrt6$ এবং $s=\sqrt7$

প্রদত্তরাশি$=\dfrac{s+a}{s-a}$

$=\dfrac{\sqrt7+\sqrt6}{\sqrt7-\sqrt6}$
$=\dfrac{(\sqrt7+\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6)}{(\sqrt7-\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6)}$   [লব ও হরকে $(\sqrt7+\sqrt6)$ দ্বারা গুণ করে]
$=\dfrac{(\sqrt7+\sqrt6)^2}{(\sqrt7)^2-(\sqrt6)^2}$
$=\dfrac{(\sqrt7)^2+2\sqrt7.\sqrt6+(\sqrt6)^2}{7-6}$
$=7+2\sqrt42+6$
$=13+2\sqrt42$
$=25.961481...$
$=25.9615$ (প্রায়)   [চার দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নিয়ে]

গ

দেওয়া আছে,

$a=\sqrt6$; $b=\sqrt4$ এবং $t=\sqrt9$

$\therefore \dfrac{t}{b}=\dfrac{\sqrt9}{\sqrt4}$

$=\dfrac{3}{2}$ যা একটি সাধারণ ভগ্নাংশ সংখ্যা এবং $\dfrac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়;

অর্থাৎ $\dfrac{t}{b}$ একটি মূলদ সংখ্যা।
এখন, $4\lt6\lt9$

$\Rightarrow \sqrt4\lt\sqrt6\lt\sqrt9$
$\Rightarrow 2\lt\sqrt6\lt3$

$\therefore\ a=\sqrt6$ এর মান $4$ এর চেয়ে বড় এবং $9$ এর চেয়ে ছোট।
$\therefore\ \sqrt6$ পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। তবে মূলদ অথবা অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।
যদি $\sqrt6$ একটি মূলদ সংখ্যা হয়, তবে $-$
মনেকরি,$\sqrt6=\dfrac{p}{q}$;   যেখানে, $p$ ও $q$ স্বাভাবিক সহমৌলিক সংখ্যা এবং $q\gt1$

$\Rightarrow (\sqrt6)^2=(\dfrac{p}{q})^2$   [উভয় পক্ষে বর্গ করে]
$\Rightarrow 6=\dfrac{p^2}{q^2}$
$\Rightarrow 6q=\dfrac{p^2}{q}$   [উভয় পক্ষে $q$ দ্বারা গুণ করে]

উপরের সমীকরণটির বামপক্ষে $6q$ একটি পূর্ণসংখ্যা কিন্তু ডানপক্ষে $\dfrac{p^2}{q}$ পূর্ণ সংখ্যা নয়। তাই $6q$ এবং $\dfrac{p^2}{q}$ সমান হতে পারে না। অর্থাৎ $6q\ne\dfrac{p^2}{q}$
$\therefore\ \sqrt6$ এর মান $\dfrac{p}{q}$ আকারের কোনো সংখ্যা হতে পরে না। অর্থাৎ $\sqrt6$ মূলদ সংখ্যা নয়।
অতএব $\sqrt6$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন - ৩:

$\sqrt{29}$ ও $5$ দুইটি বাস্তব সংখ্যা এবং $m$ একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা।

ক. $\sqrt{645}$ এর মান দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর। $[25.40]$

খ. 5 ও $\sqrt{29}$ এর মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা $x$ ও দুটি অমূলদ সংখ্যা $y, z$ লিখ। $[5.385 >$ উত্তর $>5]$

গ. দেখাও যে, $m^2$ একটি স্বাভাবিক ও বিজোড় সংখ্যা এবং $m^2$ কে $4$ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে $1$ অবশিষ্ট থাকে।

৩ নং প্রশ্নের সমাধান

ক

$\sqrt{645}$ এর মান নির্ণয় (ভাগ পদ্ধতি):

	$2$	$5$	$.$	$3$	$9$	$6$	$\ ...$
	$6$	$\ 45$	$.$	$\ 00$	$\ 00$	$\ 00$	$...$
$-4$
$45)$	$2$	$45$
$-2$		$25$
$503)$		$20$		$00$
	$-15$			$09$
$5069)$		$4$		$91$	$00$
	$-4$			$56$	$21$
$5078)$				$34$	$79$	$00$
		$-30$			$47$	$16$
$50792\_)$				$4$	$31$	$84$	$00$

$\therefore \sqrt{645}=25.396 ... \approx 25.40$
অতএব $\sqrt{645}$ এর মান $25.40$ (প্রায়)।

খ

এখানে, $\sqrt{29}=5.385...$ অর্থাৎ $5$ এর চেয়ে বড় কিন্তু $5.385...$ এর চেয়ে ছোট একটি মূলদ সংখ্যা $x$ ও দুটি অমূলদ সংখ্যা $y, z$ লিখতে হবে।

$x = 5.2=\dfrac{52}{10}=\dfrac{26}{5}$

যেখানে $5 \lt x \lt \sqrt{29}$ এবং যা $\dfrac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়। অর্থাৎ মূলদ সংখ্যা।
আবার,

$y = \dfrac{5+\sqrt{29}}{2}=5.19258...$ এবং মূলদ সংখ্যা।
$z = \dfrac{5+\sqrt{29}+\sqrt{29}}{3}=5.25677...$ এবং মূলদ সংখ্যা।

সুতরাং, $5$ এর চেয়ে বড় কিন্তু $\sqrt{29}$ এর চেয়ে ছোট একটি মূলদ সংখ্যা $x\ = \ 5.2$ ও দুটি অমূলদ সংখ্যা $y=5.19258..., z=5.25677...$।
বিকল্প,
এখানে,

$\ \ \ \sqrt{25} \lt \sqrt{x},\ \sqrt{y},\ \sqrt{z} \lt \sqrt{29}$
$=(\sqrt{25})^2 \lt (\sqrt{x})^2,\ (\sqrt{y})^2,\ (\sqrt{z})^2 \lt (\sqrt{29})^2$
$=5 \lt x,\ y,\ z \lt 5.385...$

অর্থাৎ $5$ এর চেয়ে বড় কিন্তু $5.385...$ এর চেয়ে ছোট একটি মূলদ সংখ্যা $x$ ও দুটি অমূলদ সংখ্যা $y, z$ লিখতে হবে।

$x = 5.2=\dfrac{52}{10}=\dfrac{26}{5}$

যেখানে $5\lt x \lt \sqrt{29}$ এবং যা $\dfrac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়। অর্থাৎ মূলদ সংখ্যা।
আবার,

$y = \sqrt{27}=5.19615...$ যেখানে $\sqrt{25}$ বা $5 \lt \sqrt{y} \lt \sqrt{29}$ এবং মূলদ সংখ্যা।
$z = \sqrt{28}=5.2915...$ যেখানে $\sqrt{25}$ বা $5 \lt \sqrt{z} \lt \sqrt{29}$ এবং মূলদ সংখ্যা।

সুতরাং, $5$ এর চেয়ে বড় কিন্তু $\sqrt{29}$ এর চেয়ে ছোট একটি মূলদ সংখ্যা $x\ = \ 5.2$ ও দুটি অমূলদ সংখ্যা $y=\sqrt{27}, z=\sqrt{28}$।

গ

মনেকরি,

$m = (2n+1)$;   যেখানে, $n\in\mathbb{N}$   [$\because m$ বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা ]
$m^2 = (2n+1)^2$
$\ \ \ =(2n)^2+2.2n.1+(1)^1$
$\ \ \ =(4n^2+4n+1$
$\ \ \ =4n(n+1)+1$

এখানে, $n(n+1)$ দুটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল। তাই সংখ্যা দুটির মধ্যে একটি অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে। অর্থাৎ $4n(n+1)$ সংখ্যাটিও জোড় সংখ্যা এবং তার সাথে $1$ যোগ করা হলে $4n(n+1)+1$ তা বিজোড় সংখ্যা হবে।
$\therefore m$ একটি বিজোড় সংখ্যা হলে তার বর্গ $m^2$ অবশ্যই একটি বিজোড় সংখ্যা হবে।
আবার, $4n(n+1)+1$ বিজোড় সংখ্যাটির $4n(n+1)$ অংশ জোড় সংখ্যা এবং $4\times2=8$ দ্বারা বিভাজ্য হলে তা $4$ দ্বারাও বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ $4n(n+1)+1$ সংখ্যাটিকে $4$ দ্বারা ভাগ করা হলে $n\in\mathbb{N}$ এর জন্যে প্রতিক্ষেত্রে $1$ অবশিষ্ট থাকে।
$\therefore m$ একটি বিজোড় সংখ্যা হলে তার বর্গ $m^2$ অবশ্যই একটি বিজোড় সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন - ৪:

$x=4.\dot{8}\dot{9},\ \ y=\ 3.1\dot{7}\dot{8},\ z=6.89\dot{7}9\dot{8},\ p=9.45,\ q=2.8\dot{6}\dot{3}$ কয়েকটি বাস্তব সংখ্যা।

ক. $y$ ও $z$ কে স্বাভাবিক ভগ্নাংশ সংখ্যায় প্রকাশ কর। $[\dfrac{1049}{330},\dfrac{689109}{99900}]$

খ. $x+y+z$ ও $p-q$ নির্ণয় কর। $[14.97\dot{5}7\dot{6},\ 6.58\dot{6}\dot{3}]$

গ. সরল কর: $\left(0.\dot{3}\times0.8\dot{3}\right)\div\left(0.5\times0.\dot{1}\right)+0.3\dot{5}\div0.0\dot{8}$ $[9]$

৪ নং প্রশ্নের সমাধান

ক

দেওয়া আছে,

$y=3.1\dot{7}\dot{8}=\dfrac{3178-31}{990}=\dfrac{3147}{990}=\dfrac{1049}{330}$
$z=6.89\dot{7}9\dot{8}=\dfrac{689798-689}{9990}=\dfrac{689109}{990}=\dfrac{229703}{3330}$

ইহাই $y$ ও $z$ এর নির্ণেয় সাধারণ ভগ্নাংশ।

খ

দেওয়া আছে,

$x=4.\dot{8}\dot{9},\ \ y=\ 3.1\dot{7}\dot{8},\ z=6.89\dot{7}9\dot{8},\ p=9.45,\ q=2.8\dot{6}\dot{3}$

$x, y$ ও $z$ যোগ করে পাই $-$

$x=4.\dot{8}\dot{9}=4.89\dot{8}9898\dot{9}$	$89...$
$y=3.1\dot{7}\dot{8}=3.17\dot{8}7878\dot{7}$	$87...$
$z=6.89\dot{7}9\dot{8}=6.89\dot{7}9879\dot{8}$	$79...$
$(x+y+z)=14.97\dot{5}7657\dot{6}$	$55...$

$p$ থেকে $q$ বিয়োগ করে পাই $-$

$p=9.45=9.45\dot{0}\dot{0}$	$00...$
$q=2.8\dot{6}\dot{3}=2.86\dot{3}\dot{6}$	$36...$
$(p-q)=6.58\dot{6}\dot{3}$	$64...$

$\therefore$ নির্ণেয় $(x+y+z)=14.97\dot{5}7657\dot{6} = 14.97\dot{5}7\dot{6}$ এবং $(p-q)=6.58\dot{6}\dot{3}$।

গ

প্রদত্ত রাশিমালা $=\left(0.\dot{3}\times0.8\dot{3}\right)\div\left(0.5\times0.\dot{1}\right)+0.3\dot{5}\div0.0\dot{8}$

$=\left(\dfrac{3-0}{9}\times\dfrac{83-8}{90}\right)\div\left(\dfrac{5}{10}\times\dfrac{1-0}{9}\right)+\dfrac{35-3}{90}\div\dfrac{8-0}{90}$
$=\left(\dfrac{3}{9}\times\dfrac{75}{90}\right)\div\left(\dfrac{5}{10}\times\dfrac{1}{9}\right)+\dfrac{32}{90}\div\dfrac{8}{90}$
$=\dfrac{5}{18}\div\dfrac{1}{18}+\dfrac{32}{90}\div\dfrac{8}{90}$
$=\dfrac{5}{18}\times\dfrac{18}{1}+\dfrac{32}{90}\times\dfrac{90}{8}$
$=5+4$
$=9$

$\therefore$ নির্ণেয় সরলমান $9$.