Math Resolution For SSC Chapter-3

৩য় অধ্যায়: বীজগাণিতিক রাশি

প্রশ্ন - ১:

$a=\sqrt{6}+\sqrt{5}$ এবং $x=9+4\sqrt{5}$।

ক. একটি ধনাত্মক সংখ্যা $m$ এর বর্গ ঐ সংখ্যার পাঁচগুণের চেয়ে এক কম হলে, দেখাও যে, $m+\dfrac{1}{m}=5$ ।

খ. প্রমাণ করো যে, $x^4-322x^2+1=0$ ।

গ. দেখাও যে, $\dfrac{a^{12}-1}{a^6}=1932\sqrt{30}$

১ নং প্রশ্নের সমাধান

ক

দেওয়া আছে, একটি ধনাত্মক সংখ্যা $m$ এর বর্গ ঐ সংখ্যার পাঁচগুণের চেয়ে এক কম। অর্থাৎ

$\ \ \ \ m^2=5m-1$
$\Rightarrow m^2+1=5m$
$\Rightarrow \dfrac{m^2}{m}+\dfrac{1}{m}=\dfrac{5m}{m}$   [উভয় পক্ষে $m$ দ্বারা ভাগ করে ]
$\therefore \ m+\dfrac{1}{m}=5$   [দেখানো হলো ]

খ

দেওয়া আছে,
  $\ \ \ \ x=9+4\sqrt{5}$

  $=5+4\sqrt{5}+4$
  $=(\sqrt{5})^2+2.2\sqrt{5}+(2)^2$
  $=(\sqrt{5}+2)^2$

$\therefore\ \sqrt{x}=(\sqrt{5}+2)$
$\therefore \ \dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{1}{(\sqrt{5}+2)}$

  $=\dfrac{(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2})$
  $=\dfrac{(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5})^2-(2)^2}$
  $=\dfrac{(\sqrt{5}-2)}{(5-4)}$

$\therefore \ \dfrac{1}{\sqrt{x}}=(\sqrt{5}-2)$
$\therefore \ \ \ \ \left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)=(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2)$
  $\Rightarrow \left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)=\sqrt{5}+2+\sqrt{5}-2$
  $\Rightarrow \left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)=2\sqrt{5}$
  $\Rightarrow \left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2=(2\sqrt{5})^2$   [বর্গ করে]
  $\Rightarrow (\sqrt{x})^2+2.\sqrt{x}.\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2=4\times5$
  $\Rightarrow (x+\dfrac{1}{x}=18 \cdots\ \cdots\ \cdots\ $ ①
  $\Rightarrow \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=(18)^2$   [বর্গ করে]
  $\Rightarrow (x)^2+2.x.\dfrac{1}{x}+\left(\dfrac{1}{x}\right)^2=324$
  $\Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=324-2$
  $\Rightarrow \dfrac{(x)^4+1}{x^2}=322$
  $\Rightarrow x^4+1=322 x^2$
  $\therefore \ x^4-322 x^2+1=0$   [প্রমাণিত]

গ

দেওয়া আছে,
  $\ \ \ \ x=9+4\sqrt{5}$

  $=5+4\sqrt{5}+4$
  $=(\sqrt{5})^2+2.2\sqrt{5}+(2)^2$
  $=(\sqrt{5}+2)^2$

$\therefore\ \sqrt{x}=(\sqrt{5}+2)$
$\therefore \ \dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{1}{(\sqrt{5}+2)}$

  $=\dfrac{(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2})$
  $=\dfrac{(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5})^2-(2)^2}$
  $=\dfrac{(\sqrt{5}-2)}{(5-4)}$

$\therefore \ \dfrac{1}{\sqrt{x}}=(\sqrt{5}-2)$
$\therefore \ \ \ \ \left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)=(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2)$
  $\Rightarrow \left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)=\sqrt{5}+2+\sqrt{5}-2$
  $\Rightarrow \left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)=2\sqrt{5}$
  $\Rightarrow \left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2=(2\sqrt{5})^2$   [বর্গ করে]
  $\Rightarrow (\sqrt{x})^2+2.\sqrt{x}.\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2=4\times5$
  $\Rightarrow (x+\dfrac{1}{x}=18 \cdots\ \cdots\ \cdots\ $ ①
  $\Rightarrow \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=(18)^2$   [বর্গ করে]
  $\Rightarrow (x)^2+2.x.\dfrac{1}{x}+\left(\dfrac{1}{x}\right)^2=324$
  $\Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=324-2$
  $\Rightarrow \dfrac{(x)^4+1}{x^2}=322$
  $\Rightarrow x^4+1=322 x^2$
  $\therefore \ x^4-322 x^2+1=0$   [প্রমাণিত]